Galoistheorie - Fixkörper und Spur

18.03.2011, 16:20

mynee

Galoistheorie - Fixkörper und Spur

Meine Frage:
Hallo,
ich möchte die Zwischenkörper der galoisschen Erweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ bestimmen. Die Galois-Gruppe besteht aus den Automorphismen:
$\begin{eqnarray*} \sigma_1: \sqrt{2} \to \sqrt{2}, \; \sqrt{3} \to \sqrt{3} \\ \sigma_2: \sqrt{2} \to -\sqrt{2}, \; \sqrt{3} \to \sqrt{3} \\ \sigma_3: \sqrt{2} \to \sqrt{2}, \; \sqrt{3} \to -\sqrt{3} \\ \sigma_4: \sqrt{2} \to -\sqrt{2}, \; \sqrt{3} \to -\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
Insbs. ist also $\begin{eqnarray*} Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .
Es gibt also 3 Untergruppen der Galoisgruppe: $\begin{eqnarray*} \{ \sigma_1, \sigma_2\}, \; \{ \sigma_1, \sigma_3\}, \; \{ \sigma_1, \sigma_4\} \end{eqnarray*}$
Diesen Untergruppen will ich nun die entsprechenden Fixkörper zuordnen. Dies kann nach meiner Algebra-Vorlesung mit Hilfe der Spur geschehen:
Beispielsweise erhalte ich für die 1.Untergruppe:
$\begin{eqnarray*} \sigma_1(\sqrt{2}) + \sigma_2(\sqrt{2}) = 0 \\ \sigma_1(\sqrt{3}) + \sigma_2(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} \\ \Rightarrow \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$
Analog erhalte ich für den 2. Fixkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$
Wende ich dieses Verfahren nun auf die 3. Untergruppe an, ergibt sich bei mir jedoch:
$\begin{eqnarray*} \sigma_1(\sqrt{2}) + \sigma_4(\sqrt{2}) = 0 \\ \sigma_1(\sqrt{3}) + \sigma_4(\sqrt{3}) = 0 \\ \end{eqnarray*}$
Es sollte der Fixkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{6}) \end{eqnarray*}$ herauskommen. Was ist also schiefgelaufen, was habe ich nicht beachtet?

Mir ist klar: Würde ich die Spur auch auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ anwenden, so ergibt sich auch unmittelbar, dass dieses Element fest bleibt.

Meine Ideen:
-

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21.03.2011, 13:13

Reksilat

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RE: Galoistheorie - Fixkörper und Spur
Hallo mynee,

Leider kenne ich Deine Algebra-Vorlesung nicht und weiß daher auch nicht, wie Eure Vorschrift lautet, um die Fixkörper zu den Untergruppen mit Hilfe der Spur zu bestimmen.
Es könnte aber damit zusammenhängen, dass die Körpererweiterung Grad 4 hat und Du die Spur für alle vier Erzeugenden von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt 2,\sqrt 3) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -VR untersuchen musst. (Wobei die bei $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ natürlich immer trivial ist)

Gruß,
Reksilat.

21.03.2011, 18:29

mynee

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RE: Galoistheorie - Fixkörper und Spur
Hallo Reksilat,

vielen Dank für die Antwort. Du hast Recht. In obigem Fall hätte ich also noch $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ mit einbeziehen sollen.

Gruß mynee

30.03.2011, 00:50

juergen007

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RE: Galoistheorie - Fixkörper und Spur

Zitat:

Original von mynee
Insbs. ist also $\begin{eqnarray*} Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Ist denn mal nachgehakt
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

grösser kleiner oder gleich $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{6}) \end{eqnarray*}$ ?
sry komm mit den latex und mathbb noch nicht zurecht
dabei muss ich latex fuer eine Arbeit lernen aarg geschockt

30.03.2011, 00:53

Reksilat

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RE: Galoistheorie - Fixkörper und Spur
Was vermutest Du denn?
Ist zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \sqrt 6\in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ ?

30.03.2011, 01:10

juergen007

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RE: Galoistheorie - Fixkörper und Spur

Zitat:

Original von Reksilat
Was vermutest Du denn?
Ist zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \sqrt 6\in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ ?

dann muesste $\begin{eqnarray*} \sqrt 6\ = a*\sqrt 2\ +b * \sqrt 3\ sein \end{eqnarray*}$
was offenbar nicht der Fall ist.

also $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{6} <> \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

Ist aber umgekehrt
$\begin{eqnarray*} a*\sqrt 2\ +b * \sqrt 3\ =c * \sqrt 6\ \end{eqnarray*}$ ?

was auf
$\begin{eqnarray*} 2*a^2+3*b^2+2*a*b*\sqrt{6}=6c^2 \end{eqnarray*}$
hinauslaueft.
was fuer a=1 , b=1 nicht rational löst.

30.03.2011, 01:16

Reksilat

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RE: Galoistheorie - Fixkörper und Spur
Ein Körper ist immer auch unter Multiplikation abgeschlossen. Wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ in einem Körper sind, dann ist es auch ihr Produkt.

30.03.2011, 01:53

juergen007

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RE: Galoistheorie - Fixkörper und Spur
also $\begin{eqnarray*} {Q}(\sqrt{6} \subset {Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$
und umgekert nicht?

30.03.2011, 09:11

Reksilat

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RE: Galoistheorie - Fixkörper und Spur
Ja,das ist richtig.
Es lässt sich relativ leicht sehen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt 6)=\{a+b\sqrt 6|a,b\in\mathbb{Q}\} \end{eqnarray*}$ ist.
(Diese Menge erfüllt die Körperaxiome und ist offensichtlich die kleinste solche Menge, die $\begin{eqnarray*} \sqrt 6 \end{eqnarray*}$ enthält)

Dann kann man noch zeigen, dass sich zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ nicht auf diese Weise darstellen lässt.

Gruß,
Reksilat.

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