Stetigkeit von Funktionen mit mehreren Variablen

18.03.2011, 18:58

niko_graz

Stetigkeit von Funktionen mit mehreren Variablen

Meine Frage:
Hallo hier ein Beispiel:

Untersuchen Sie folgende Funktion auf Stetigkeit:
R²->R

f(x,y)=0 für (x,y)=0

f(x,y)= $\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}-1}{x²+y²} \end{eqnarray*}$ für (x,y) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0

Meine Ideen:
Ok soviel ist bekannt: Separat sind beide Funktion stetig, soviel ist klar. Zu überprüfen ist jedoch die mögliche Sprungstelle (0,0). Also wenn f(x,y) in (0,0) stetig ist, dann ist die gesamte Funktion in diesem Fall stetig.

Also muss ich den limes von $\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}-1}{x²+y²} \end{eqnarray*}$ mit x,y -> 0 überprüfen. Dieser muss gegen 0 gehn, dann ist die Funktion stetig.
Richtig so weit??

Bis jetzt habe ich solche sachen eig immer so gelöst, dass ich x,y durch Polarkoordinaten ersetzt habe nur hier hilft es glaub ich nichts, ich muss also was anderes verwenden um den limes zu bestimmen.
Welche möglichkeiten hab ich noch??

Danke für die hilfe!!
Lg

18.03.2011, 19:09

Leopold

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Separat sind beide Funktionen stetig.

???

Es gibt hier nur 1 Funktion.

Um Unstetigkeit nachzuweisen, genügt es, eine spezielle Punktefolge anzugeben, so daß im Limes nicht 0 herauskommt. Wie wäre es mit

$\begin{eqnarray*} \left( x_n , y_n \right) = \left( \frac{1}{n} \, , \, 0 \right) \, , \ \ n \geq 1 \ \text{ganz} \end{eqnarray*}$

18.03.2011, 19:25

niko_graz

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Zitat:

Original von Leopold
Separat sind beide Funktionen stetig.

???

Es gibt hier nur 1 Funktion.

Um Unstetigkeit nachzuweisen, genügt es, eine spezielle Punktefolge anzugeben, so daß im Limes nicht 0 herauskommt. Wie wäre es mit

$\begin{eqnarray*} \left( x_n , y_n \right) = \left( \frac{1}{n} \, , \, 0 \right) \, , \ \ n \geq 1 \ \text{ganz} \end{eqnarray*}$

Sry war ein bisschen blöd ausgedrückt^^... Um im ganzen R stetig zu sein, müssen doch die einzelnen teile der funktionen auch stetig sein, also f(x,y) für (x,y) ungleich 0 muss stetig sein und f(x,y) für (x,y)=(0,0) muss stetig sein

Hmmm naja würden dann nicht Zähler und Nenner gegen unendlich gehn, und somit wäre keine Aussage über den Limes möglich?

Zähler:
Also e^(1/n) geht gegen unendlich, somit geht auch e^(1/n)-1 gegen unendlich.

Nenner: 1/n² geht gegen unendlich

Also hätte ich ja unendlich/unendlich, keine aussage möglich? oder mache ich was falsch??

18.03.2011, 19:29

Leopold

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Nicht Stellen sind stetig oder unstetig, sondern Funktionen sind an Stellen stetig oder unstetig. Bitte sorgfältiger formulieren.

Und was du rechnest, stimmt nicht. Es gilt doch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ n \to \infty \end{eqnarray*}$

18.03.2011, 19:34

niko_graz

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Zitat:

Original von Leopold
Nicht Stellen sind stetig oder unstetig, sondern Funktionen sind an Stellen stetig oder unstetig. Bitte sorgfältiger formulieren.

Und was du rechnest, stimmt nicht. Es gilt doch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ n \to \infty \end{eqnarray*}$

Muss n nicht gegen 0 gehn?? Oder ist es egal gegen welchen Grenzwert?

18.03.2011, 19:36

Leopold

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Wir wollen doch mit der Punktefolge gegen $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ gehen. Um das zu erreichen, müssen wir bei dem von mir vorgestellten Ansatz mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen unendlich gehen.

18.03.2011, 19:39

niko_graz

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sry versteh ich jetzt nicht... wenn ich in deinem Ansatz n gegen unendlich gehen lasse geht die Punktefolge gegen (0,0)? wieso?

18.03.2011, 19:42

Leopold

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Weil $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ dann gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ geht. Und die zweite Koordinate ist sowieso konstant $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ (siehe meinen ersten Beitrag). Es handelt sich also um eine spezielle Folge von Punkten, die alle auf der positiven $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse liegen und gegen den Ursprung streben. Das Ziel ist es zu zeigen, daß die Funktionswerte bei diesen Punkten nicht gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ streben. Dann wäre nämlich die Funktion im Ursprung unstetig.

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