Gruppen Ordnung 70 [PFA] - Seite 2

22.03.2011, 19:07

juffo-wup

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Zu Fuß geht es schnell genug:
- wie kann man aus einem Paar von Automorphismen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ einen Automorphismus von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ gewinnen?
- warum ist jeder der Automorphismen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ von dieser Form? (Wie bildet jeder solche Automorphismus die Normalteiler $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_5\times 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1\times\mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ ab?)

22.03.2011, 19:59

tigerbine

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Ok, dann zu Fuß.

Sei $\begin{eqnarray*} \varphi_5 \in Aut(\mathbb Z_5), \varphi_7 \in Aut(\mathbb Z_5) \end{eqnarray*}$ .

Nun sei $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ , d.h. z besitzt eine eindeutige Darstellung $\begin{eqnarray*} z=vm \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb{Z}_5, w \in \mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ .

Frage wäre dann, ob durch

$\begin{eqnarray*} \varphi(z):=\varphi_5(v)\varphi_7(w) \end{eqnarray*}$

ein Automorphismus auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ definiert ist. verwirrt

verwirrt

Der Nachweis klappt nciht so recht...

22.03.2011, 21:05

juffo-wup

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Die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ kommutieren miteinander, da das Produkt ein direktes ist.

edit: Aus der Normalteilereigenschaft der beiden Gruppen kann man das ebenfalls zu Fuß durch Betrachten von $\begin{eqnarray*} a^{-1}bab^{-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{Z}_5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\in \mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ sehen.

22.03.2011, 21:38

tigerbine

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Zitat:

Original von juffo-wup
Die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ kommutieren miteinander, da das Produkt ein direktes ist.

Dann sollte es klappen.

$\begin{eqnarray*} \varphi(e)=\varphi_5(e)\varphi_7(e) = e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(z_1z_2)&&=\varphi(v_1w_1v_2w_2)<br /> && =\varphi(v_1v_2w_1w_2) <br /> && =\varphi_5(v_1v_2)\varphi_7(w_1w_2)<br /> && =\varphi_5(v_1)\varphi_5(v_2)\varphi_7(w_1)\varphi_7(w_2)<br /> && = \varphi_5(v_1)\varphi_7(w_1)\varphi_5(v_2)\varphi_7(w_2)<br /> &&=\varphi(z_1)\varphi(z_2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

(Wie bildet jeder solche Automorphismus die Normalteiler $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_5\times 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1\times\mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ ab?)

$\begin{eqnarray*} \varphi(\mathbb{Z}_5\times 1) = \varphi_5(\mathbb{Z}_5)=\mathbb{Z}_5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(1 \times\mathbb{Z}_7) = \varphi_7(\mathbb{Z}_7)= \mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$

Oder wie meintest du das mit "solcher"?

22.03.2011, 21:53

juffo-wup

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} \varphi(e)=\varphi_5(e)\varphi_7(e) = e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(z_1z_2)&&=\varphi(v_1w_1v_2w_2)<br /> && =\varphi(v_1v_2w_1w_2) <br /> && =\varphi_5(v_1v_2)\varphi_7(w_1w_2)<br /> && =\varphi_5(v_1)\varphi_5(v_2)\varphi_7(w_1)\varphi_7(w_2)<br /> && = \varphi_5(v_1)\varphi_7(w_1)\varphi_5(v_2)\varphi_7(w_2)<br /> &&=\varphi(z_1)\varphi(z_2) \end{eqnarray*}$

Das ist richtig. So kann man also eine Abbildung $\begin{eqnarray*} Aut(\mathbb{Z}_5)\times Aut(\mathbb{Z}_7) \to Aut(\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_7) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (\varphi_5,\varphi_7)\mapsto \varphi \end{eqnarray*}$ definieren. Diese Abbildung selbst ist ein Homomorphismus und injektiv. Surjektivität ist noch zu zeigen.

Zitat:

Oder wie meintest du das mit "solcher"?

Das hatte ich wohl schlecht formuliert, ich meinte einen beliebigen Automorphismus von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ (um Surjektivität zu beweisen).

22.03.2011, 23:20

tigerbine

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Also eigentlich habe ich ja nur aufgeschrieben, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Endomorphismus ist. Das es ein Automorphismus ist, müßte aus der Eindeutigen Darstellung von $\begin{eqnarray*} z=vw \end{eqnarray*}$ und der Automorphismuseigenschaft von $\begin{eqnarray*} \varphi_5, \varphi_7 \end{eqnarray*}$ folgen.

Nun betrachten wir:

$\begin{eqnarray*} \Phi: Aut(\mathbb{Z}_5)\times Aut(\mathbb{Z}_7) \to Aut(\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_7) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi: (\varphi_5,\varphi_7)\mapsto \varphi :=\varphi_5\varphi_7 \end{eqnarray*}$ (*)

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \Phi \Bigl((id(\mathbb Z_5), id(\mathbb Z_7))\Bigr) = id(\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_7) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi\Bigl((\varphi_5,\varphi_7)(\tilde \varphi_5,\tilde \varphi_7) \Bigr) &&= \Phi\Bigl((\varphi_5\tilde \varphi_5,\varphi_7\tilde \varphi_7) \Bigr) <br /> &&=\Phi\Bigl((\hat \varphi_5,\hat \varphi_7) \Bigr)<br /> &&= \hat \varphi <br /> &&= \hat \varphi_5\hat \varphi_7<br /> &&= \varphi_5\tilde \varphi_5\varphi_7 \tilde \varphi_7<br /> &&=\varphi_5\varphi_7 \tilde \varphi_5\tilde \varphi_7<br /> &&=\Phi\Bigl((\varphi_5,\varphi_7 )\Bigr)\Phi\Bigl((\tilde \varphi_5,\tilde \varphi_7)\Bigr) \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \varphi_5\tilde \varphi_5=:\hat\varphi_5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi_7 \tilde \varphi_7=:\hat\varphi_7 \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} \varphi :=\varphi_5\varphi_7 \stackrel{!} = id(\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_7) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \varphi_5 = id(\mathbb Z_5), \varphi_7=id(\mathbb Z_7) \end{eqnarray*}$ , also injektiv.

Nun sei $\begin{eqnarray*} \varphi \in Aut(\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_7) \end{eqnarray*}$ beliebig gegeben. Wir wissen noch nicht, ob der dann auch von der Bauweise (*) ist. Was wissen wir nun aber, da es ein Automorhismus ist und die Gruppe endliche Ordnung hat?

[] Die Ordnung des Bildes entspricht der Ordnung des Urbildes $\begin{eqnarray*} ord(\varphi(z))=ord(z),~\forall z \in Aut(\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_7) \end{eqnarray*}$

[] Wegen der Surjektivität ist das Bild eines Normalteilers wieder ein Normalteiler.

Damit muss gelten - Teilerfremde Ordnungen - :

$\begin{eqnarray*} \varphi(\mathbb{Z}_5\times 1) =\mathbb{Z}_5\times 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(1 \times\mathbb{Z}_7) =1 \times \mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$

Und das bedeutet, dass alle $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ von obiger Bauweise sind. Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ist dann auch surjektiv.

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23.03.2011, 00:53

juffo-wup

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Stimmt alles. Freude

Freude

23.03.2011, 00:55

tigerbine

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Hey, dann haben wir das ja geschafft, oder?

23.03.2011, 01:06

juffo-wup

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Ja, damit ist die Isomorphie bewiesen. Soweit ich es überblicken kann, wäre alles in diesem Thread zusammengefügt also ein vollständiger Beweis der Klassifikation der Gruppen mit Ordnung 70.

23.03.2011, 01:08

tigerbine

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Tanzen

"Anschlussfragen" stelle ich morgen.

Respekt

Respekt

für euch!

23.03.2011, 01:51

jester.

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Wenn du noch Interesse an weiteren Aufgaben dieser Art hast: ich weiß, dass sich Ordnung 63 ganz gut klassifizieren lässt.

24.03.2011, 16:26

Mystic

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Zitat:

Original von jester.
Wenn du noch Interesse an weiteren Aufgaben dieser Art hast: ich weiß, dass sich Ordnung 63 ganz gut klassifizieren lässt.

Ja, wobei etwas ehrgeiziger die Klassifikation der Gruppen der Ordnung $\begin{eqnarray*} p^2q \end{eqnarray*}$ wäre, wo p und q Primzahlen sind für welche so wie hier die Bedingungen

$\begin{eqnarray*} p | \ q-1, \text{ aber } p^2 \not | \ q-1 \end{eqnarray*}$

gelten... Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.03.2011, 16:35

tigerbine

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Ok, Vorschläge für 2 neue Aufgaben. Mache ich dann aber in neuen Threads.

28.03.2011, 03:22

tigerbine

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Zitat:

Es gilt nämlich $\begin{eqnarray*} Aut(\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_7)\cong Aut(\mathbb{Z}_5)\times Aut(\mathbb{Z}_7) \end{eqnarray*}$

Gilt das immer, wenn man das direkte Produkt zyklischer Gruppen teilerfremder Ordnungen hat?

Bei nichtteilerfremd Beispiel:

(i) $\begin{eqnarray*} Aut(C_2 \times C_2) \cong Aut(V) \cong S_3 \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} Aut(C_2) \times Aut(C_2) \cong \mathbb Z_2^{\times} \times \mathbb Z_2^{\times} \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} Z_2^{\times} =\{\overline 1\} \end{eqnarray*}$ sind (i) und (ii) nicht gleich.

28.03.2011, 08:17

Mystic

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Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Es gilt nämlich $\begin{eqnarray*} Aut(\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_7)\cong Aut(\mathbb{Z}_5)\times Aut(\mathbb{Z}_7) \end{eqnarray*}$

Gilt das immer, wenn man das direkte Produkt zyklischer Gruppen teilerfremder Ordnungen hat?

Ja, gilt für teilerfremde Ordnungen immer, weil für ggT(m,n)=1 die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \Phi: Aut(C_m \times C_n) \to Aut(C_m) \times Aut(C_n) \text{ mit } \phi \mapsto (\phi | C_m, \phi | C_n) \end{eqnarray*}$

dann einen Isomorphismus darstellt...

28.03.2011, 12:55

tigerbine

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Danke.

Augenzwinkern

Das | steht für eingeschränkt auf, oder? Das hatten juffo und und ich dann mit dem $\begin{eqnarray*} \times 1, 1 \times \end{eqnarray*}$ hier gemacht?

28.03.2011, 13:42

Mystic

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Zitat:

Original von tigerbine
Das | steht für eingeschränkt auf, oder? Das hatten juffo und und ich dann mit dem $\begin{eqnarray*} \times 1, 1 \times \end{eqnarray*}$ hier gemacht?

Ja, ich bin hier gedanklich schon von einer Darstellung als sog. "inneres direktes Produkt" ausgegangen, wo dann $\begin{eqnarray*} C_m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ als Normalteiler eingebettet drinnen liegen, was dann einiges einfacher macht... Insbesondere sind dann die beiden Komponenten von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ einfach Einschänkungen auf $\begin{eqnarray*} C_m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ , aus denen man umgekehrt $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ wieder "reproduzieren" kann...

28.03.2011, 13:50

tigerbine

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Zitat:

Original von Mystic
Ja, ich bin hier gedanklich schon von einer Darstellung als sog. "inneres direktes Produkt" ausgegangen,

Wegen dieser Isomorphie zwischen innerem und äußeren Produkt, wenn G direktes (inneres) Produkt ist: $\begin{eqnarray*} N_1 \otimes N_2 \cong N_1 \times N_2 \end{eqnarray*}$

(Verwendet wurde $\begin{eqnarray*} \phi: (n_1,n_2) \mapsto n_1n_2 \end{eqnarray*}$ ist Isomorphismus.)

28.03.2011, 13:59

Mystic

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Ja, tatsächlich hatten wir in unseren Gruppenuntersuchungen, wenn sich das semidirekte Produkt als direkt herausstellte, auch immer ein inneres direktes Produkt vorliegen... Aber man kann wegen wegen der Isomorphie ohnehin wählen, was im Moment halt gerade besser "passt"... Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.03.2011, 14:05

tigerbine

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Schön.

Augenzwinkern

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