Rotationskörper

02.12.2006, 15:39

hä?

Rotationskörper

Seid gegrüßt alle zusammen!

Hab eine Frage zu dieser Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R~,a<b,~f:[a;b]->[0; \infty )~stetig \end{eqnarray*}$
und K der "Rotationskörper"

$\begin{eqnarray*} K:=\{(x,y,z)\in [a;b]\times \mathbb R^{2}~|~y^{2}+z^{2}\leq f(x)^{2}\} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} v_{3}(K)=\pi \int_{a}^{b}~f(x)^{2}~dx \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist: kann man das so lösen wie hier angegeben?
Oder wollen die hier eine noch allgemeinere Lösung?

MfG hä?

02.12.2006, 23:39

Abakus

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RE: Rotationskörper
Ich weiß nicht, wie ihr an das Problem ran gegangen seid und wie eure Definitionen lauten. Da könnte es Unterschiede geben.

Du kannst ja mal prüfen, ob du es mit eurem Wissen so aufschreiben kannst oder ob du irgendwo feststeckst.

Grüße Abakus smile

03.12.2006, 10:44

hä?

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RE: Rotationskörper
Hmm, ich weiß leider auch nicht wie wir das genau hatten...

Wir haben auch ein paar Tips bekommen mit denen ich allerdings nicht viel anfangen kann:
Unser Übungsleiter meinte wir sollen erstmal mit Folgenkriterium zeigen, dass K abgeschlossen ist und mit der Maximumsnorm zeigen, dass es beschränkt ist. Dann meinte er kann man ausnutzen, das dann auch f beschränkt ist.
Und dann soll man für das Volumen das Prinzip von Cavalieri verwenden:

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R ,~~K_{x}:=\{(y,z)~|~(y,z)\in \mathbb R^{2} ~und~ (x,y,z)\in K\} \end{eqnarray*}$

Dann soll man sich sowas überlegen: $\begin{eqnarray*} B_{2}(K)=\{x~|~x \in\mathbb R ~und~ K_{x}\neq \phi\} \end{eqnarray*}$ (also K ist keine leere Menge)

Und dann meinte er, dass für das Volumen (nach Cavalieri) folgt:

$\begin{eqnarray*} v_{3}(K)=\int_{B_{2}(K)}^{}~v_{2}(K_{x})~dx \end{eqnarray*}$

Aber ich verstehe das alles nicht... Wo ist denn hier das gezeigt, was verlangt wurde?
Sieht das jemand?

03.12.2006, 12:45

Abakus

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RE: Rotationskörper

Zitat:

Original von hä?
Und dann meinte er, dass für das Volumen (nach Cavalieri) folgt:

$\begin{eqnarray*} v_{3}(K)=\int_{B_{2}(K)}^{}~v_{2}(K_{x})~dx \end{eqnarray*}$

Aber ich verstehe das alles nicht... Wo ist denn hier das gezeigt, was verlangt wurde?
Sieht das jemand?

Ja, diese Methode es zu zeigen, macht mehr Sinn, weil sie sich mehr an eurem Stoff orientiert.

Damit du den Sinn siehst, müsstest du folgendes bestimmen:

$\begin{eqnarray*} v_{2}(K_{x}) \end{eqnarray*}$

Was ist also der x-Schnitt von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und welches (2-dim.) Volumen hat der ?

Grüße Abakus smile

03.12.2006, 18:21

hä?

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RE: Rotationskörper
Danke Abakus!

Also ich denke, dass der x-Schnitt von K ist: $\begin{eqnarray*} y^{2}+z^{2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

04.12.2006, 18:59

hä?

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RE: Rotationskörper
Der x-Schnitt ist: $\begin{eqnarray*} K_{x}=\{(x,y)\in \mathbb R^{2}~|~y^{2}+z^{2}\leq f(x)^{2}\} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, K_x ist ein Kreis mit Radius f(x). Also ist $\begin{eqnarray*} v_{2}(K_{x})=\pi f(x)^{2} \end{eqnarray*}$

Also folgt nach Cavalieri: $\begin{eqnarray*} v_{3}(K)= \int_{a}^{b}~v_{2}(K_{x})~dx =\pi \int_{a}^{b}~f(x)^{2}~dx \end{eqnarray*}$

Allerdings bin ich mir noch bei den Grenzen unsicher... verwirrt

Könnte das jemand nachprüfen?

MfG hä?

04.12.2006, 21:19

Abakus

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RE: Rotationskörper

Zitat:

Original von hä?
Der x-Schnitt ist: $\begin{eqnarray*} K_{x}=\{(x,y)\in \mathbb R^{2}~|~y^{2}+z^{2}\leq f(x)^{2}\} \end{eqnarray*}$

Das x ist fest beim x-Schnitt, also:

$\begin{eqnarray*} K_{x}=\{(x, y, z) \in \{x\} \times \mathbb R^{2}~|~y^{2}+z^{2}\leq f(x)^{2}\} \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} x \in [a, b] \end{eqnarray*}$ . (Check eure Definition von x-Schnitt mal dagegen, ggf. ist die anders.)

Grüße Abakus smile

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