Asymptotische Normalität eines Gleichverteilungs-MLE

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KSK Auf diesen Beitrag antworten »
Asymptotische Normalität eines Gleichverteilungs-MLE
Meine Frage:
Hallo!
Ich soll begründen, zwei ML-Schätzer, den ich aus einer Gleichverteilung gewonnen habe, normalverteilt sind.
Die Likelihoodfunktion ist (1/(b-a))^n und da mussten eben b und a geschätzt werden.
Ich habe gelesen, dass ML-SChätzer normalverteilt sind (find ich komisch, glaub ich aber mal)- allerdings ist mir nicht klar, ob das auch für Schätzer aus der Gleichverteilung gilt:

Meine Ideen:
Die Funktion ist ja nicht kontinuierlich.
Macht das was aus?
Vielen Dank für eure Antworten!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Asymptotische Normalität eines Gleichverteilungs-MLE
Das stimmt nicht.
Die ML-Schätzer für eine Gleichverteilung kannst du leicht bestimmen. Das Maximum der Likelihood



ergibt sich, wenn man b - a möglichst klein wählt. b kann aber nicht kleiner sein als der größte Wert aus der Stichprobe und a nicht größer als der kleinste Wert aus der Stichprobe. Man hat also für die ML-Schätzer




Die Verteilungen von und sind ganz sicher keine Normalverteilungen. Sie sind ja nach unten und oben durch a und b beschränkt.
KSK Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Asymptotische Normalität eines Gleichverteilungs-MLE
Hi Huggy,
danke für deine Antwort! Die Schätzer habe ich auch so.

Wie könnte ich denn herausfinden, wie die Schätzer verteilt sind?

LG
KSK
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Asymptotische Normalität eines Gleichverteilungs-MLE
Das geht recht einfach. Sei mal der kleinste Wert der Stichprobe betrachtet. Dessen Verteilungsfunktion ergibt sich aus:



In Worten: Damit der kleinste Wert <= x ist, dürfen nicht alle Werte > x sein.

Das kannst du für eine Gleichverteilung leicht ausrechnen. Es genügt, den Fall a = 0, b = 1 zu betrachten. Der allgemeine Fall ergibt sich daraus durch eine Skalentransformation. Die Dichte ergibt sich dann durch Ableiten der Verteilungsfunktion.
KSK Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Asymptotische Normalität eines Gleichverteilungs-MLE
Aha! Krass, da wär ich nie drauf gekommen... Noch eine letzte Frage: Woher weiß ich dann, welche Verteilung das ist? Oder ist das einfach nur verteilt, hat aber keinen Namen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Asymptotische Normalität eines Gleichverteilungs-MLE
Mir ist kein spezieller Name für die sich ergebenden Verteilungen des kleinsten (größten) Wertes einer Stichprobe bekannt.

Es ist ganz interessant, sich mal anzuschauen, wie sich die Dichtefunktion des kleinsten Wertes der Stichprobe mit wachsendem n immer mehr bei x = 0 (im allgemeinen Fall bei x = a) konzentriert.
 
 
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