Aufgabe Quadraturformel (Numerische Integration)

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Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe Quadraturformel (Numerische Integration)
Hallo,

ich beschäftige mich gerade selbst mit einer Aufgabe zur numerischen Integration. Leider habe ich noch überhaupt keine Erfahrungen und lerne alles selbst aus dem Internet und hoffe ihr könnt mir Tipps geben bzw. etwas helfen.

Die Aufgabe lautet:

Gegeben ist die Quadraturformel:



zur näherungsweisen Berechnung des Integrals:



Bestimmen Sie die Gewichte sowie die Stützstelle so, dass
eine Quadraturformel mit höchstmöglichem Genauigkeitsgrad entsteht. Welchen Genauigkeitsgrad hat die erhaltene Quadraturformel.


Lösung:

Anzahl der Stützstellen: s=2 wobei und



Grad des Polynoms

Berechnung der Gewichte:















Eingesetzt in



Ist das soweit richtig?
Wenn ja habe ich das soweit mal verstanden.

Nur wie kann ich jetzt so bestimmen, dass eine Quadraturformel mit größtmöglichem Genauigkeitsgrad entsteht? Und wie kann ich diesen berechnen und angeben?

Meine Idee dazu wäre dass ich irgendwie den Fehler der numerischen Integration bestimmen und diesen minimieren muss. Wenn der Fehler gegen 0 strebt müsste die Integration "genau" sein. Bin ich mit der Vermutung auf dem richtigen Weg? Wenn ja wie kann ich den Fehler und anschließend den Genauigkeitsgrad bestimmen?

Geht die Fehlerbestimmung über diese Formel?:

=

==(Schritt 1)

=(Schritt 2)

=

Kann es sein, dass wenn a=b=1 ist der Fehler 0 und somit die Genauigkeit maximal? Aber dann liegen die Stützstellen aufeinander.
Wie kommt von Schritt 1 nach Schritt 2 das zustande?

Was ist und und in dieser Formel und was muss ich dafür einsetzen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry.
Hallo,

deinen Thread wirklich zu lesen schaffe ich im Moment nicht. Wir hatten hier ein "ähnliches" Beispiel. Konstruieren einer Quadraturformel

Wenn man die Knoten frei wählen darf und maximale Ordnung will, sollte man das imho gemäß einer Gauschen Quadraturformel tun.
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sorry.
Es eilt nich, wenn du die Tage mal Zeit hast reicht mir das. Ich schau mir das hoffentlich "ähnliche"Beispiel morgen mal an.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sorry.
Die Idee steckt ja auch im allgemeinen Ansatz drin: [WS] Numerische Integration - Theorie
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weis halt nicht was mit Genauigkeitsgrad überhaupt gemeint ist und ob die Gewichte, so wie ich sie oben bestimmt hab so stimmen bzw. wie ich überhaupt ansetzen muss um sie zu bestimmen und was die Formelzeichen in der Fehlerbestimmungsformel bedeuten. Sieht schlecht aus ohne je was über die Theorie gehört zu haben.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Genauuigekit bezieht sich auf den Maximalen Grad eines Polynoms, das noch exakt integriert wird.

Zitat:
Sieht schlecht aus ohne je was über die Theorie gehört zu haben.


Die Aufgabe ist dir aber nicht einfach so gestellt worden, oder?
 
 
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabenblätter habe ich von der Homepage meines zukünftigen Professors selbstständig runtergeladen. Somit ist das ein freiwilliges Lernprogramm bisher und nicht wirklich eine gestellte Aufgabe. Die Vorlesung dazu habe ich erst ab nächstem Semester. Ich hatte in meinem Bachelorstudium des Maschinenbaus Mathe 1-3 bisher, aber eben keine Numerik. Dafür kommt jetzt im Master Maschinenbau Numerik für Ingenieure. Hält sich aber in Grenzen, da ich kein Mathematiker oder Informatiker bin sondern Ingenieur.

Das ganze brauch ich wie schon mal gesagt für die FEM II Vorlesung und für Modellbildung. Ich habe mir bisher alles selbst beigebracht (Internet, Literatur). Mit etwas Hilfe von dir habe ich alle Aufgaben hinbekommen bin jetzt schon auf Blatt 5 von 6. Nur bei der Numerischen Integration bin ich bisher stecken geblieben und versteh das ganze noch nicht so wirklich.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, da gehört halt schon was Theorie dazu. Augenzwinkern Die hatte ich dir ja verlinkt (Ein Beispiel).

Die anderen Fragen waren mehr "Basic" und die Splines so klein und so gut vorgegeben, dass man fast nichts über die Theorie wissen musste.
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »

Um die Aufgabe oben Lösen zu können brauch ich mehr Theorie, also
habe ich mich noch etwas mit einigen Büchern zur numerischen Integration auseinandergesetzt und habe da noch ein paar Fragen:

Mein Polynom ist vom Grad 1 (n=1) und ich suche einen noch fehlenden Punkt und die Gewichte zu und somit kann ich doch hier nur die Trapezregel anwenden (2 Gewichte und 2 dazugehörige Punkte Grad des Polynoms n=1). Dadurch ist die Quadraturformel doch exakt vom Grade 1? Soll heißen der Exaktheitsgrad ist nunmal 1 .

Eine weitere Frage die mich beschäftigt:

Gegeben war ja:

Die Funktion soll ja im Intervall von 0-->1 integriert werden. Kann ich dann nicht einfach
und setzen und sagen der Exaktheitsgrad ist maximal 1, da für n=1 gilt:



und

d.h. die Lösung ist für alle Polynome Grad exakt. Ist das Polynom meinetwegen vom Grad 2 entsteht ein Fehler.

Folglich stimmen die Gewichte die oben von mir ausgerechnet wurden bereits.

Meine Frage ist, ob das so richtig ist oder nicht? Und ist Exaktheitsgrad=Genauigkeitsgrad?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das kannst du nicht.

Zitat:
Satz: Die Ordnung obiger Quadraturformeln beträgt höchstens 2n+2, d.h. alle Polynome werden exakt integriert.


Wir können hier also einen viel höheren Grad als 1 [Was bedeuten würde, dass nur konstante Funktionen exakt integriert werden] erreichen.

Ferner verstehe ich die Aussage nicht, dass man nur "eh" nur die Trapezrgel nehmen kann. Das ist eine mögliche Regel für 2 Punkte, die am Rand des Intervalls liegen [abgeschlossene Newton Cotes Formel].

Zitat:
Satz 2:

Die Quadraturformel hat genau dann die (maximale) Ordnung (2n+2), wenn die Knoten so gewählt werden, dass für mit gilt:

Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte halt, da gegeben ist:



Kann es hier nur die Trapezformel sein, da bei der Mittelpunktsregel nur 1 Stützstelle und 1 Gewicht und bei der Simpsonformel 3 Gewichte und 3 Stützstellen vorgegeben sein müssten. Und die Trapezformel hat laut dem Buch "Numerische Behandlung gewöhnlicher und partieller Differenzialgleichungen" von Claus-Dieter Munz und ThomasWestermann , Kapitel 1: Numerische Integration Exaktheitsgrad 1
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe deine Vorgehensweise nicht. verwirrt

Zitat:
eine Quadraturformel mit höchstmöglichem Genauigkeitsgrad entsteht.


Dazu hatte ich dir verlinkt, welche Theorie man dazu kennen muss: Stichwort: Gauß-Quadratur. Augenzwinkern

Warum bastelst du also "wild" rum? Es ist nicht gefragt "welche der dir schon bekannten Formeln passt am besten auf die Aufgabe". Augenzwinkern
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ich dachte wie oben geschrieben:

2 Gewichte und 2 Stützstellen= Trapezregel folglich sieht die Funktion so aus

1 Gewicht 1 Stützstelle = Mittelpunktsregel folglich sieht die Funktion so aus


3 Gewichte und 3 Stützstellen = Simpsonregel folglich sieht die Funktion so aus

und in meinem Buch stand (siehe Anhang)

Ich will ja eigentlich nicht rumbasteln aber ich weis ja noch nicht wie ich vorgehen muss.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich will ja eigentlich nicht rumbasteln aber ich weis ja noch nicht wie ich vorgehen muss.


Deswegen sollst du dich ja mit dem Kapitel Gauss-Quadratur befassen... verwirrt
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahso für meine Aufgabe brauch ich die Gauss-Quadratur, das hab ich so noch nicht verstanden gehabt Hammer . Ok dann such ich mal danach und les mir das durch. Wink

Aber was hat es mit dem von mir geposteten oben genau auf sich? Das sind ja auch Quadraturformeln.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das sind auch Formeln. So what? Es gibt ziemlich viele Quadraturformeln. Es passt halt nicht zu der Fragestellung hier. Augenzwinkern
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetz was zum Verständnis dazu gefunden (siehe Anhang). Hätt ich das eher gefunden, hätte ich wohl verstanden um was es geht. Hammer Hammer Hammer

Jetz versteh ich zumindest mal wozu man die Gauss Quadratur brauchen kann. Also wenn nach der Genauigkeit (z.B. maximale, minimale etc.) gefragt wird und ich kann Knotenpunkte variieren kommt nur die Gauss Quadratur in Frage, da z.B. die Newton Quotes Formeln eine fest vorgegebene Genauigkeit haben. geschockt geschockt geschockt

Und bei der Gauss Quadratur gilt:

Zitat:
SatzBig Laugh ie Ordnung obiger Quadraturformeln beträgt höchstens 2n+2, d.h. alle Polynome werden exakt integriert.


Zitat:
Die Quadraturformel hat genau dann die (maximale) Ordnung (2n+2), wenn die Knoten so gewählt werden, dass für mit gilt:
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hätt ich das eher gefunden, hätte ich wohl verstanden um was es geht.


Irgendwie komme ich mir ein wenig ver**** vor. Mein zweiter Beitrag verwies bereits auf das Thema Gauss Quadratur.. Heute zitierte ich ebenfalls schon diese Sätze unglücklich
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »

Brauchst du aber nicht, denn diese Sätze habe ich doch von dir zitiert und nicht aus dem Anhang. Ich wusste aus deinem Beitrag, das es um Gauss Quadratur geht aber ich habe halt wirklich noch nicht kapiert für was ich die Gauss Quadratur brauche und dass ich sie bei dieser Aufgabe brauche.

Ich habs dank deinen Bemühungen ja letztendlich verstanden was gemeint ist. Aus dem Anhang habe ich lediglich die Information "Ziel: Knoten variieren um Polynome möglichst hohen Grades exakt zu integrieren" gemeint.

Vielen Dank mal für deine Bemühungen. Ich wollte dich nicht verägern, das liegt mir fern! Ich stand halt auf der Leitung, sorry. Das liegt daran, dass ich ohne je irgendwas über Numerik gehört zu haben auf eigene Faust anfang mir den Stoff reinzuprügeln.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Augenzwinkern Also Gauss-Quad ist schon ein Brocken. Mit einem Schluck Zaubertrank wird es gehen. Wink
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »

Wird mit der Zeit schon werden, vor allem wenn die Vorlesung in Numerik dann anfängt.
Naja das Hauptproblem liegt darin, dass es soviele numerische Näherungsverfahren und dazugehörige Formeln gibt und wenn man Bücher darüber liest weis man trotzdem noch nicht so richtig wofür man welches Verfahren braucht. Und wenn man sich alles selbst aus Büchern beibringen will hat man zwar die Formeln vorliegen und sieht was es für Verfahren gibt aber weis noch nicht so richtig wie man sie anwendet. Die Vorlesung fängt bei mir erst im April an.

Ein weiteres Problem liegt darin, dass ich ja Maschinenbau Master studiere und bis auf lineare Algebra, Vektoralgebra, Vektoranalysis und Polynominterpolation im Bereich Numerik noch gar nichts gehabt habe. Schwerpunkte liegen eher auf FEM Theorie, FEM Anwendung, Technische Mechanik I-IV, Konstruktion, Maschinenelemente, Werkstoffkunde....

Viele Numerik Bücher sind aber eher für Mathematiker und Informatiker geschrieben.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, wird schon werden. Wink
Mads85 Auf diesen Beitrag antworten »

Also gut, nachdem ich dank tigerbine nun verstanden habe, dass ich die Knoten variieren muss um Polynome möglichst hohen Grades exakt zu integrieren (ich hatte so ein Brett vor dem Kopf Hammer Hammer Hammer ) nun zur Lösung mittels GAUSS-QUADRATUR:

Gleichung (1)

Gleichung (2)

Gleichung (3)

Gleichung(4)



aus (1) folgt

aus (2) folgt mit (1)






aus (3) folgt mit (1) und (2):











aus (1) wiederum

somit aus (2)


Daraus ergibt sich durch einsetzen von , und in Gleichung (4):



Da Gleichung (4) nicht erfüllt wird ist der maximale Genauigkeitsgrad der Quadraturformel 3. Ordnung, da Polynome exakt integriert werden können. Wären beide Knotenpunkte frei wählbar gewesen hätte die Quadraturformel 4. Ordnung und könnte Polynome exakt integrieren.

Somit:

Ein großer Dank an dich tigerbine für deine Zeit und deine laaaange Geduld, sowie die hilfreichen Links. Ohne dich würd ich wohl noch bis zum St. Nimmerleinstag dransitzen. Bin ich was froh, das ich das jetzt gerallt hab.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bin ich was froh, das ich das jetzt gerallt hab.


Na dann, Ziel erreicht.
faulteN Auf diesen Beitrag antworten »
Ja wie? Ich kann das Thema ändern?
Hallo Leute! Lang ist´s her, dass die Aufgabe hier gelöst wurde. Ich habe nun die gleiche Aufgabenstellung aber mit einem anderen Wert für x_1 = 2/3.

g_0 * 1 + g_1 * 1 = 1

Diese drei Einsen.. ist das die selbe 1 die die zu Anfang gegeben hattest? Wie lautet die Allgemeine Formel für die Gleichungen 1-4?

Gruß
faulteN
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