Verschoben! Existenzzeit eines Dynamischen Systems

19.03.2011, 10:23

Black

Existenzzeit eines Dynamischen Systems

Was genau versteht man unter der maximalen Existenzzeit ( $\begin{eqnarray*} \bar t \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \underline t \end{eqnarray*}$ ) eines dynamischen Systems?

Beispiel:

Ich hab das dynamische System $\begin{eqnarray*} \Phi : I \times \mathbb C \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (t,z) \rightarrow \frac {1}{\frac {1}{z}-t} \end{eqnarray*}$

Wie genau muss ich da jetzt vorgehen um die Existenzzeiten zu bestimmen?
Ist damit gemeint für welche t, das dynamische System nicht definiert ist?

19.03.2011, 11:57

Gualtiero

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RE: Existenzzeit eines Dynamischen Systems
Ist das nicht Hochschulmathematik? Soll ich verschieben?

19.03.2011, 12:08

Black

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Ja das wär nett, hab das falsche Forum erwischt Hammer

20.03.2011, 11:57

Black

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Ich hätte das Thema besser "Existenzzeit eines Flusses" genannt, das Phi ist hier nämlich in erster Linie mal nur ein Fluss, die Frage bleibt aber die Gleiche.

Ich weiß dass mein Fluss nicht definiert ist wenn b=0 und $\begin{eqnarray*} t=\frac{a}{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z=a+b\cdot i \end{eqnarray*}$ ist etwa das mit der Existenzzeit gemeint?

20.03.2011, 12:03

Cel

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Ah, das Phi ist ein Fluss. Ja, dann ist damit der Definitionsbereich des Flusses gemeint, also das maximale Existenzintervall dieser Lösung. Dieser Begriff bezieht sich nur auf die Zeitvariable t. Was b ist, ist der Existenzzeit egal. Mach deshalb eine Fallunterscheidung. Es ergeben sich zwei Existenzzeiten. Eine für b = 0 und eine für b $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0.

20.03.2011, 12:11

Black

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Wenn b=0 ist, ist Phi für $\begin{eqnarray*} t=\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ nicht definiert, aber was ist dazu jetzt die Existenzzeit?
Etwa $\begin{eqnarray*} (-\infty,\frac{1}{a}) \end{eqnarray*}$ ?

Und für $\begin{eqnarray*} b \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist Phi ja immer definiert

20.03.2011, 12:14

Cel

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Zitat:

Original von Black
Etwa $\begin{eqnarray*} (-\infty,\frac{1}{a}) \end{eqnarray*}$ ?

Etwa, ja. Könnte aber auch $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{a}, \infty\right) \end{eqnarray*}$ sein. Das kann man dann nur sagen, wenn ein Anfangswertproblem vorliegt. Man wählt dann das jeweilige Intervall, in dem die Anfangszeit $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ liegt. ( $\begin{eqnarray*} x(t_0) = x_0 \end{eqnarray*}$ )

Zitat:

Original von Black
Und für $\begin{eqnarray*} b \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist Phi ja immer definiert

Wunderbar! Dann haben wir als Existenzzeit $\begin{eqnarray*} I = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

20.03.2011, 12:26

Black

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In der Aufgabe ist ja nach $\begin{eqnarray*} \bar t \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \underline t \end{eqnarray*}$ gefragt

Wenn ich das jetzt so interpretiere dass mit $\begin{eqnarray*} \underline t \end{eqnarray*}$ gemeint ist t<0 und mit $\begin{eqnarray*} \bar t \end{eqnarray*}$ t>0 , wenn b=0
dann hätte ich für $\begin{eqnarray*} \underline t \end{eqnarray*}$ als Ergebnis $\begin{eqnarray*} (-\infty,0) \end{eqnarray*}$ wenn a>0
bzw. $\begin{eqnarray*} (-\infty,1/a) \end{eqnarray*}$ wenn a<0,
und für $\begin{eqnarray*} \bar t \end{eqnarray*}$ als Ergebnis $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ wenn a<0 und $\begin{eqnarray*} (0,1/a) \end{eqnarray*}$ wenn a>0

20.03.2011, 12:32

Cel

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Eher nicht, bei dir wären diese t jetzt Intervalle. Ich kenne es so:

$\begin{eqnarray*} (\underline{t}, \overline{t}) \end{eqnarray*}$ ist das maximale Existenzintervall. Die t bezeichnen die Obergrenze bzw. Untergrenze des Existenzintervalles.

In dem einen Fall wäre also $\begin{eqnarray*} \underline{t} = -\infty \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \overline{t} = \infty \end{eqnarray*}$ . Im anderen Fall entweder $\begin{eqnarray*} \underline{t} = \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \overline{t} = \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ , je nachdem, welches AWP zu betrachten ist.

Es kann also durchaus vorkommen, dass $\begin{eqnarray*} \overline{t} < 0 \end{eqnarray*}$ , das hat nichts mit < oder > 0 zu tun, sondern mit Ober- bzw. Untergrenze des Intervalles.

20.03.2011, 12:42

Black

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Ja so scheint mir das auch mehr Sinn zu machen smile

Das Vorzeichen von a spielt also keine Rolle ich hab eben nur $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} b \neq \end{eqnarray*}$ 0
bzw. $\begin{eqnarray*} (-\infty,1/a) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (1/a, \infty) \end{eqnarray*}$ wenn b=0 als Existenzintervall.

20.03.2011, 13:12

Cel

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Richtig, so würde ich das auch sagen. smile

20.03.2011, 13:15

Black

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Ich danke dir (schon wieder Augenzwinkern

)

Wenn du mir jetzt noch bei der Lösung der Stochastikaufgabe hilfst erklär ich dich zu meinem persönlichen Held Big Laugh

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