bilinearform ausgeartet?

19.03.2011, 11:50	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
bilinearform ausgeartet? hallo mal wieder habe hier eine bilinearform: $\begin{eqnarray} \beta(x,y)=x_1y_1-x_2y_2+3x_2y_3+3x_3y_2-5x_1y_2-5x_2y_1+2x_2y_3 \end{eqnarray}$ Dazu habe ich, dass sie symmetrisch ist, weil $\begin{eqnarray} \beta(x,y)=\beta(y,x) \end{eqnarray}$ . Jetzt ist aber die Frage, ob sie ausgeartet ist. Mit der Definition vom rechten und linken Kern komme ich irgendwie nicht klar, habe aber eine andere äquivalenz gefunden, die besagt, dass $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ nicht ausgeartet ist, wenn $\begin{eqnarray} \forall \; x\neq 0 \exists y: \beta(x,y)=0 \end{eqnarray}$ und andersrum. Und eine weitere Äquivalenz ist, dass die Determinante der darstellenden Matrix $\begin{eqnarray} \neq 0 \end{eqnarray}$ sein muss. Ist diese darstellende Matrix richtig? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&-10&0\\-10&-1&6\\0&6&2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die Determinante ist hier nicht 0, also ist $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ nicht ausgeartet? Aber wie sieht es mit den anderen Bedingungen aus? Komme damit nicht klar ^^ Könnte mir da jemand behilflich sein??? Vielen Dank schonmal LG Hamsterchen
19.03.2011, 12:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst sicher $\begin{eqnarray} \beta(x,y)=...+2x_3y_3 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \beta(x,y)=...+2x_2y_3 \end{eqnarray}$ . Warum verdoppelst du Koeffizienten in der Matrix ? Ich würde sagen, $\begin{eqnarray} M_{\beta}=\begin{pmatrix} 1 & -5 & 0 \\ -5 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Weiterhin ist $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ symmetrisch und nicht ausgeartet. Über Linkskern, Rechtskern und den Zusammenhang mit linearen Abbildungen und der Frage, was deren Injektivität mit "nicht ausgeartet" zu tun hat, findest du hier etwas: http://de.wikipedia.org/wiki/Bilinearform
19.03.2011, 13:17	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo ja das war ein tippfehler und bei der matrix hab ich mich vertan ^^ ich verstehe nicht ganz wie ein element auf eine abbildung abgebildet wird und vor allem nicht, wie ich dann überprüfe, ob der kern nur aus der 0 besteht. könntest du mir es vielleicht ein wenig erklären? und stimmt die andere bedingung die ich da noch hingeschrieben hatte? weil dann könnte man ja in diesem fall sagen dass ich für jedes x dann das y als den nullvektor setze und umgekehrt, dann käme immer 0 raus...

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