Beweis ggT

19.03.2011, 13:11	Sven___	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis ggT Meine Frage: Zeige ggT(a,b)=ggT(a,a+b) bzw. ggT(a,b)=ggT(a,a-b). Meine Ideen: Wir haben in der Vorlesung den ggT wie folgt definiert: d = ggT(a,b), wenn d\|a und d\|b sowie c\|a und c\|b => c\|d. Ich komme soweit, dass ich zeigen kann, dass d ein Teiler von a+b bzw. a-b ist, wie zeige ich jedoch, dass sich d vom Schritt d=ggT(a,b) zu d=ggT(a,a+b) nicht ändert? Bzw. d der größte Teiler von a und a+b bzw. a-b ist. Ich bin für jede Hilfe dankbar.
20.03.2011, 14:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ ein gemeinsamer Teiler von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a-b \end{eqnarray}$ . Die Darstellung $\begin{eqnarray} b = a - (a-b) \end{eqnarray}$ zeigt, daß $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ dann auch ein Teiler von $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ist. Also ist $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ ein gemeinsamer Teiler von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ , teilt mithin den größten gemeinsamen Teiler von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Insbesondere darf man in dieser Argumentation für $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ speziell den größten gemeinsamen Teiler von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a-b \end{eqnarray}$ nehmen. Damit ist gezeigt: $\begin{eqnarray} \text{(1)} \ \ \operatorname{ggT}(a,a-b) \, \| \, \operatorname{ggT}(a,b) \end{eqnarray}$ Jetzt zeige durch eine analoge Argumentation $\begin{eqnarray} \text{(2)} \ \ \operatorname{ggT}(a,b) \, \| \, \operatorname{ggT}(a,a-b) \end{eqnarray}$ Aus beiden Relationen folgt das Behauptete.

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