Winkel berechnen

19.03.2011, 13:14

Milchkeks

Winkel berechnen

Meine Frage:
Hallo,
ich habe die Formel:
$\begin{eqnarray*} s_y(s_x) = \tan{(w)}~s_x - \frac{1}{2} \cos{(w)}^{-2}~s_{x}^2 \end{eqnarray*}$
damit wird eine Wurfparabel beschrieben. Ich habe nun den Punkt P(x1|y1) und möchte nun eine Formel finden, mit der ich den Winkel w finde, damit die Parabel durch den Punkt P geht.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} y_1 = \tan{(w)}~x_1 - \frac{1}{2} \cos{(w)}^{-2}~x_1^2 \quad \text{(I)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Substitution:}~~ b = \tan{(a)} \quad a =\frac{1}{2} \cos{(a)}^{-2} \Rightarrow y_1 = b~x_1 - a~x_1^2 \quad \text{(II)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Oder:}~~ \frac{y_1}{x_1} = b - a~x_1 \quad \text{(III)} \end{eqnarray*}$
b muss nun durch a ersetzt werden, damit die Gleichung lösbar wird, oder umgekehrt, leider weiß ich nicht wie. verwirrt

Danke im Voraus für die Hilfe.

19.03.2011, 16:12

riwe

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RE: Winkel berechnen
soll das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos^2\omega} \end{eqnarray*}$ bedeuten verwirrt

wenn ja, ist es
a) einfach mit einer trigonometrischen umformung und quadratischen gleichung zu lösen.
b) der wertebereich für die punkte P ( mit y > 0 ) sehr "eng" Augenzwinkern

19.03.2011, 17:09

Milchkeks

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RE: Winkel berechnen
Danke, das hat mir sehr geholfen! Und ja ich meine das. Jedenfalls komme ich auf die Umformung:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos^2\omega} = (1 + \tan^2{\omega}) \end{eqnarray*}$

eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{y_1}{x_1} = \tan{\omega} - \frac{1}{2}(1 + \tan^2{\omega}) x_1\quad\Rightarrow \quad 0 = \tan{\omega} - \frac{x_1}{2} \tan^2{\omega} - \frac{y_1}{x_1} - \frac{x_1}{2} \end{eqnarray*}$

Nun Mitternachtsformel:

$\begin{eqnarray*} \omega = \arctan{\left(\frac{-1 \pm \sqrt{1 + 2(y_1 + \frac{x_1^2}{2})}}{x_1} \right)} \end{eqnarray*}$

19.03.2011, 17:28

Milchkeks

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RE: Winkel berechnen
*hust* Typo *hust*

$\begin{eqnarray*} \omega = \arctan{\left(\frac{-1 \pm \sqrt{1 - 2y_1 - x_1^2)}}{x_1} \right)} \end{eqnarray*}$

19.03.2011, 17:29

riwe

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RE: Winkel berechnen
ja genau diese umformung meinte ich Freude