Limes

19.03.2011, 14:00

Gast11022013

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Limes

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N, n\geq 2, x_k\in \mathbb R, 0<x_k<1, k=1,2,\hdots,n \end{eqnarray*}$ und es gelte:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n}(1-x_k)>1-\sum_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie hiermit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n^2})^n=1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n^2})^n=\underbrace{(1-\frac{1}{n^2})\cdot (1-\frac{1}{n^2})\cdot \hdots \cdot (1-\frac{1}{n^2})}_{n-mal} \end{eqnarray*}$

Ich denke, man muss jetzt jeden Faktor abschätzen?

19.03.2011, 14:06

Cel

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RE: Limes
Nein, nicht jeden einzeln. Es gilt doch

$\begin{eqnarray*} \underbrace{(1-\frac{1}{n^2})\cdot (1-\frac{1}{n^2})\cdot \hdots \cdot (1-\frac{1}{n^2})}_{n-mal} = \prod_{k=1}^n \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) \end{eqnarray*}$

Siehtst du jetzt, wie es weiter geht?

19.03.2011, 14:13

Gast11022013

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RE: Limes
Meinst Du $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n (1-\frac{1}{k^2}) \end{eqnarray*}$ ? Ich meine wegen des k, das ja sonst irgendwie belanglos wäre.

Wenn ja, dann gilt

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n (1-\frac{1}{k^2})>1-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ .

Und wie geht es dann weiter? Mit der Limesbildung?

19.03.2011, 14:17

Cel

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Nein, ich meine $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ . Das ist ja der Trick. Die Folge, die dort steht, ist also konstant. $\begin{eqnarray*} x_k = \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Guck noch mal die Ungleichung an und setze diese konstante Folge ein. Danach dann Grenzwert und schick n nach Unendlich.

Edit: Übrigens:

Zitat:

Original von Dennis2010
Meinst Du $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n (1-\frac{1}{k^2}) \end{eqnarray*}$ ?

Das ist gleich 0, das macht ja keinen Spaß. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.03.2011, 14:26

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n (1-\frac{1}{n^2})>1-\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ?

Kurze Zwischenfrage: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ist doch eine geometrische Reihe?

Okay, wenn man jetzt n gegen unendlich gehen lässt, links müsste 1 herauskommen, rechts bin ich mir nicht sicher.

EDIT:

Ich ziehe das zurück, es handelt sich nicht um eine geometrische Reihe.
Und die rechte Seite strebt dann auch gegen 1.

Stimmt das?

19.03.2011, 15:01

Cel

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Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n (1-\frac{1}{n^2})>1-\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ?

Jawohl.

Zitat:

Original von Dennis2010
Okay, wenn man jetzt n gegen unendlich gehen lässt, links müsste 1 herauskommen, rechts bin ich mir nicht sicher.

EDIT:

[...]
Und die rechte Seite strebt dann auch gegen 1.

Stimmt das?

Ja, das stimmt, aber warum? Wenn du übrigens von Anfang an wüsstest, dass die linke Seite gegen 1 geht, bräuchten wir die Ungleichung nicht. Sauber begründen kannst du das nicht, denn ich vermute, dass du zuerst innen n gegen Unendlich hast laufen lassen, ergibt 1, Produkt von 1en konvergiert gegen 1. Die beiden n's müssen aber gleichzeitig gegen Unendlich laufen.

Jedenfalls, forme deine obere Gleichung noch weiter um. Das, was hinter dem Summenzeichen steht, ist konstant, du kannst das Summenzeichen also ganz einfach auflösen.

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19.03.2011, 15:07

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n (1-\frac{1}{n^2})>1-\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2}=1-n\cdot \frac{1}{n^2}=1-\frac{1}{n}\to 1, n\to \infty \end{eqnarray*}$

Ich verstehe aber nicht, wie es weiter gehen kann. Denn man weiß doch jetzt nur, dass der Limes der linken Seite größer als 1 ist. Er muss ja aber GLEICH 1 sein.

19.03.2011, 15:45

tmo

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Beachte, dass du nur größergleich 1 kriegst, wenn du den Limes betrachtest.

Die linke Seite ist nun aber ein Produkt aus lauter Faktoren, die kleiner sind als 1. Also?

Ich bin übrigens ob der Aufgabenstellung etwas verwundert, da die gegebene Ungleichung eine Verallgemeinerung der bernoullischen Ungleichung ist, aber in diesem Fall ( $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ konstant) in die bernoullische Ungleichung übergeht, also hätte die völlig ausgereicht um die Abschätzung zu kriegen.

19.03.2011, 15:53

Gast11022013

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Zitat:

Original von tmo
Beachte, dass du nur größergleich 1 kriegst, wenn du den Limes betrachtest.

Oh, wieso das?

Zitat:

Original von tmo
Die linke Seite ist nun aber ein Produkt aus lauter Faktoren, die kleiner sind als 1. Also?

Also?... Wenn die Faktoren alle kleiner 1 sind, it natürlich auch das Produkt kleiner 1 und der Limes ist 0?

Folgt dann aus $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <1 \end{eqnarray*}$ , dass gleich 1 gilt?

19.03.2011, 16:01

tmo

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Es ist doch auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} > 0 \end{eqnarray*}$ für alle n, aber $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} > 0 \end{eqnarray*}$ stimmt ja offensichtlich nicht, sondern es gilt nur $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Dennis2010
Also?... Wenn die Faktoren alle kleiner 1 sind, it natürlich auch das Produkt kleiner 1 und der Limes ist 0?

Folgt dann aus $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <1 \end{eqnarray*}$ , dass gleich 1 gilt?

Dass der Limes 0 ist, stimmt nicht, warum plötzlich solch eine Behauptung?

Aber sonst stimmt es, dass das Produkt auch kleiner als 1 ist, also ist die Folge stets kleiner als 1. Und man kriegt dann wieder für den Limes nur $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Und das dann aus $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ folgt, dass es gleich 1 ist, sollte doch bekannt sein.

19.03.2011, 16:16

Gast11022013

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Mir ist das mit dem $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ noch nicht klar geworden.

Die gegebene Ungleichung aus der Aufgabe sieht doch $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ vor. Wieso ist dann bei der Limesbildung plötzlich $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ . Du hast es ja eben schon versucht zu erklären, aber ich habe es leider nicht begriffen.

Vielleicht kannst Du es nochmal erklären?

Edit:

Man hat also zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \underbrace{(1-\frac{1}{n^2}\cdot (1-\frac{1}{n^2})\cdot \hdots \cdot (1-\frac{1}{n^2})}_{n-mal} \end{eqnarray*}$ , jeder Faktor ist kleiner als 1 und das gesamte Produkt ist ebenfalls kleiner als 1.

Und nun sagst Du: Wenn man den Limes betrachtet, also $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Das verstehe ich nicht.
$\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ bedeutet doch, dass gleichzeitig die Anzahl der Faktoren und außerdem die n in den Klammern gegen unendlichen gehen. Wieso gilt dann $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ ?

19.03.2011, 17:26

Cel

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tmo ist offline, ich übernehme mal wieder. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es gibt eine Regel, die müsstest die eigentlich schon in Analysis I gehabt haben:

$\begin{eqnarray*} a_n < b_n \Rightarrow \lim_{n \to \infty}~a_n \leq \lim_{n \to \infty}~b_n \end{eqnarray*}$

Beispiel: $\begin{eqnarray*} a_n = 0 \, \forall n,~b_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} 0 < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , aber es gilt nicht 0 < 0. 0 ist der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n}\right)_n \end{eqnarray*}$ .

19.03.2011, 17:32

Gast11022013

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Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n (1-\frac{1}{n^2})>1-\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2}=1-n\cdot \frac{1}{n^2}=1-\frac{1}{n}\to 1, n\to \infty \end{eqnarray*}$

Wieso muss hier $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ stehen?

Ich verstehe das immer noch nicht.

19.03.2011, 17:35

Cel

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Hier muss das noch gar nicht stehen. Erst, wenn wir $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$ davor schreiben.

Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n (1-\frac{1}{n^2})>1-\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2}=1-n\cdot \frac{1}{n^2}=1-\frac{1}{n}\to 1, n\to \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\prod_{k=1}^n (1-\frac{1}{n^2}) \geq 1 \end{eqnarray*}$

Erst, wenn man den Limes betrachtet, kommt ein = hinzu.

19.03.2011, 17:39

Gast11022013

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Okay, dann hatte ich das also schonmal falsch verstanden.

Verstehen will ichs zwar immer noch nicht, wieso das so ist, aber ein bisschen aufgeklärter bin ich schonmal.

Edit:

Ich habe es doch rechts gegen unendlich laufen lassen, dann lasse ich es doch links auch gegen unendlich laufen. Links habe ich das Limes bloß vergessen hinzuschreiben.

19.03.2011, 17:49

Cel

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Pff ... Ich weiß jetzt ehrlich gesagt nicht, wie ich dir das anders ersichtlich machen könnte. Verstehst du mein Beispiel? Das zeigt doch, das ein echtes < nicht sein kann.

Und dann vielleicht die konrete Frage: Habt ihr in Ana I diese Regeln nicht?

Richtig sauber würde diese Folgerung so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n (1-\frac{1}{n^2})>1-\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2}=1-n\cdot \frac{1}{n^2}=1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \prod_{k=1}^n (1-\frac{1}{n^2}) > 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\prod_{k=1}^n (1-\frac{1}{n^2}) \geq \lim_{n \to \infty}1 - \frac{1}{n} = 1 \end{eqnarray*}$

20.03.2011, 11:44

Gast11022013

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Ich denke, dass es mir zwischenzeitlich doch klar geworden ist.
Danke für die Hilfe.

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