Konvergenzradius

02.12.2006, 16:21	Dr4gonclaw	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius Aufgabe: Bestimme Konvergenzradius der Potenzreihe: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}~2^{-n}z^{n^2} \end{eqnarray}$ Von einer Potenzreige mit $\begin{eqnarray} z^n \end{eqnarray}$ kann ich den Radius bestimmen, aber ich weiß nicht wie ich mit dem $\begin{eqnarray} z^{n^2} \end{eqnarray}$ umgehen soll. Vielen Dank für Tipps und Lösungen
02.12.2006, 16:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib die Reihe einfach in Normalform: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} ~ 2^{-n} z^{n^2} = \sum_{k=0}^{\infty} ~ a_k z^k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_k = \begin{cases} 2^{-\sqrt{k}} & \;\mbox{falls}\; k\; \mbox{eine Quadratzahl ist}\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ . Und dann die normale Formel $\begin{eqnarray} r = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty} \sqrt[k]{\|a_k\|}} \end{eqnarray}$ für den Konvergenzradius benutzen.

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