Schwierigkeiten beim Gleichsetzen mehrer Funktionen

19.03.2011, 15:31

Teardown

Schwierigkeiten beim Gleichsetzen mehrer Funktionen

Halllo!

Ich habe Schwierigkeiten beim Gleichsetzen von mehreren Funktionen infolge einer Lagrangeoptimierung.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}*\sqrt{y}-\lambda (4x*+y-400) \end{eqnarray*}$

Folgende Partielle Abl. hab ich raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{dL}{dx}=\frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2} }*y^{\frac{1}{2} }-4\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dL}{dy}=x^{\frac{1}{2} }*\frac{1}{2}y^{\frac{-1}{2} }-\lambda \end{eqnarray*}$

Wie gehts nur richtig weiter? Wie setze ich die Funktionen gleich, probiere heute schon den halben Tag auf die richtige Lösung zu kommen...hmmm....für ausschlussreiche Hilfe wäre ich sehr dankbar.

19.03.2011, 15:39

lgrizu

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RE: Schwierigkeiten beim Gleichsetzen mehrer Funktionen
Lambda bestimmen und das GS lösen.

Dazu kann man die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{ \frac{x}{y}}- \lambda =0 \end{eqnarray*}$ nach lambda auflösen.

19.03.2011, 15:43

Teardown

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RE: Schwierigkeiten beim Gleichsetzen mehrer Funktionen
Okay, und wie kommst du auf die Gleichung?

Mein Ansatz war die beiden Gleichungen nach Lamda umzustellen und gleich zusetzen. Ich verstehe nur Bahnhof...

19.03.2011, 15:47

lgrizu

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RE: Schwierigkeiten beim Gleichsetzen mehrer Funktionen
Wenn man Extrema unter Nebenbedingung errechnet sollte man die partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion auch =0 setzen.

Du kannst auch beide Gleichungen nach Lambda auflösen und gleich setzen, da aber eine Gleichung kein Vielfaches von Lambda enthält bietet es sichhier vielleicht doch an, diese nach Lambda aufzulösen und das in die andere Gleichung einzusetzen.

19.03.2011, 15:52

Teardown

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Also setze ich die zweite Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{dL}{dy}=x^{\frac{1}{2} }*\frac{1}{2}y^{\frac{-1}{2} } \end{eqnarray*}$

für das lamda in der ersten 1 ein?

19.03.2011, 15:56

lgrizu

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Zitat:

Original von Teardown

$\begin{eqnarray*} \frac{dL}{dy}=x^{\frac{1}{2} }*\frac{1}{2}y^{\frac{-1}{2} } \end{eqnarray*}$

Hier sollte stehen: $\begin{eqnarray*} \lambda =x^{\frac{1}{2} }*\frac{1}{2}y^{\frac{-1}{2} } \end{eqnarray*}$

19.03.2011, 15:59

Teardown

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Genau, und das setze ich für das Lamda in der ersten Gleichung ein?

19.03.2011, 16:08

lgrizu

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Jap, so ist es.

Musst du das eigentlich mit Lagrange lösen?

Man kann ansonsten auch die Nebenbedingung nach y auflösen und das dann in die Hauptbedingung einsetzen und dann nach einer Variable differenzieren.

19.03.2011, 16:30

Teardown

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Nein ich muss es nicht unbedingt mit Lagrange lösen, aber mir geht es um Gleichsetzen bzw. auflösen nach x oder y. Und da komme ich leider immer noch nicht weiter...

19.03.2011, 16:33

lgrizu

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Nun setz doch einmal $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}} \end{eqnarray*}$ in die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}}-4 \lambda =0 \end{eqnarray*}$ ein.

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