Quadratische Form, Eigenwerte, Interpretation

19.03.2011, 16:51	franziskar	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Form, Eigenwerte, Interpretation Hallo Zusammen Ich muss leider schnell machen, da ich in 10 Minuten los muss und diese Frage gerne beantwortet hätte. Also Ich habe folgende Q. F. gegeben: *Q(x_1, x_2) = 5(x_1)^2-(x_2)^2 oder auch x^T * A * x Nebenbedingung ist: (x_1)^2+(x_2)^2=1 wobei A = [5 0; 0 -1] Eigenwerte sind 5, -1 Dazu EV: [0 alpha], [alpha 0] Frage 1: Kann ich das so interpretieren. Die Quadratische Form hat ein Maximum von 5 auf der Geraden alpha[0 1]* und ein Minimum von -1 auf der Geraden *alpha[1 0]**? Frage 2: Was hat es genau mit der Nebenbedingung auf sich? Der Professor hat gesagt, dass man deswegen die Eigenvektoren normieren muss. Das erschliesst sich mir nicht ganz? Ich bin in 6 Stunden vom Arbeiten zurück. Ich hoffe jemand hat mir bis dann weitergeholfen Danke im Voraus Adriano
21.03.2011, 13:22	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Form, Eigenwerte, Interpretation Hi franziskar, Frage 1: Die quadratische Form hat auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ kein lokales Maximum, da man ja immer die $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ -Komponente erhöhen und damit auch $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ erhöhen kann. Auf gewissen Bereichen, zum Beispiel dem Gebiet, dass durch die Nebenbedingung definiert wird, kann man dagegen nach Extrema suchen. Frage 2: Gib doch mal eine konkrete Aufgabenstellung an. Bisher sehe ich nur Voraussetzungen. Gruß, Reksilat.
22.03.2011, 21:21	franziskar	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Reksilat Also, zuerst will ich mich für meinen chaotischen Beitrag entschuldigen. Ich hatte nur den ganzen Samstag versucht, mir eine Erklärung zu bilden. Leider kam mir die Idee, hier im Forum nachzufragen viel zu spät, sodass ich kurz vor der Arbeit noch etwas verständliches hinschreiben wollte. Übelst fehlgeschlagen Nun zur Aufgabe: Gegeben ist folgende quadratische Form: $\begin{eqnarray} Q(x_1,x_2) = 5x_1^2-x_2^2 \end{eqnarray}$ Oder aber auch: $\begin{eqnarray} x^T\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}x \end{eqnarray}$ Dann habe ich noch folgendes berechnet: $\begin{eqnarray} \lambda_1 = -1; \lambda_2 = 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_1 = span\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\}; v_2 = span\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray}$ So, jetzt hoffe ich doch sehr, dich richtig verstanden zu haben. Gehe ich richtig in folgender Annahme: Die Nebenbedingung $\begin{eqnarray} x_1^2+x_2^2 = 1 \end{eqnarray}$ setzt also fest wo wir uns für eine Extremstelle interessieren? Ist es dann richtig, dass die Schnittstellen eines Eigenvektors mit der Nebenbedingung diese Extremstellen abbilden? Entspricht der dazugehörige Eigenwert dann dem Wert $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ ? In meinem Beispiel wäre 5 das Maximum in den Punkten (1,0) und (0,-1). Das Minimum äquivalent dazu. Wenn ich nun einen anderen Rand wähle, also $\begin{eqnarray} x_1^2+x_2^2 = 2 \end{eqnarray}$ . Dann ändern die Eigenwerte ja nicht? Wiederspiegelt dann der Eigenwert doch nicht den effektiven Wert Q? Ich danke dir vielmals Gruss, Adriano
23.03.2011, 10:02	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach die Eigenräume mit dem zulässigen Bereich zu schneiden ist ein Vorgehen, das hier zwar funktioniert, aber im Allgemeinen schiefgehen wird. Wenn die Nebenbedingung zum Beispiel $\begin{eqnarray} 1=x_1+x_2 \end{eqnarray}$ lauten würde, sähe das ganz anders aus. Wenn man so vorgeht sollte man auch wissen, warum man das tut und warum man damit auf das richtige Ergebnis kommt. In diesem Fall ist es vielleicht ganz sinnvoll, mal Nebenbedingung und Quadrik genauer zu vergleichen. Es soll doch immer $\begin{eqnarray} 1=x_1^2+x_2^2 \end{eqnarray}$ gelten, also $\begin{eqnarray} x_2^2=1-x_1^2 \end{eqnarray}$ . Das kann man mal in die Gleichung für die Quadrik einsetzen. Beachte dabei, dass durch die Nebenbedingung $\begin{eqnarray} x_1\in[-1,1] \end{eqnarray}$ gelten muss. Gruß, Reksilat.

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