Gerade Hochzahlen nicht umkehrbar?

19.03.2011, 18:23

IHC

Gerade Hochzahlen nicht umkehrbar?

Hi leute,

stimmt es dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2} \end{eqnarray*}$ (z.B.) nicht
umkehrbar ist?

mfg Dominik

19.03.2011, 18:25

chris95

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Nein stimmt nicht.
Natürlich ist sie umkehrbar.

19.03.2011, 18:28

IHC

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ich dachte nur, dass wenn man die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2} \end{eqnarray*}$ an der 1. Winkelhalbierenden
spiegelt, ist sie ja nich nach unten geöffnet, sondern
nach rechts.

desshalb dache ich mir, dass sie nicht umkehrbar ist.

19.03.2011, 18:31

chris95

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Naja sagen wir so:

Aus:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

folgt:

$\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$

vertauschen:

$\begin{eqnarray*} x = y^2 \end{eqnarray*}$

nach y auflösen:

$\begin{eqnarray*} y = \pm \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Das geht nicht. Du musst sie einschränken, denn für jedes x kann es nur ein y-Wert geben. Es kann nicht sein dass für x=4 y=2 und y=-2 rauskommt. Das wäre keine Funktion mehr.

Deshalb gilt dann für die Umkehrfunktion:

$\begin{eqnarray*} g_1(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} g_2(x) =-\sqrt {x} \end{eqnarray*}$

19.03.2011, 18:33

lgrizu

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Die Funktion ist auch nicht auf den reellen Zahlen umkehrbar.

Edit: @Chris:

Du zeigst selbst ganz anschaulich, dass die Funktion nicht auf ganz R umkehrbar ist.

19.03.2011, 18:35

IHC

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achso

sie ist umkehrbar aber ich muss sie einschränken Freude

danke dir

gibt es bei diesem Thema noch weitere ausnahmen verwirrt

19.03.2011, 18:35

IHC

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Zitat:

Original von lgrizu
Die Funktion ist auch nicht auf den reellen Zahlen umkehrbar.

was willst du mir damit sagen verwirrt

19.03.2011, 18:38

lgrizu

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Das ist ganz einfach, die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R,~x \to x^2 \end{eqnarray*}$ ist nicht umkehrbar, wohl aber die Funktion $\begin{eqnarray*} f:[a,b] \to [b,c],~x \to x^2 \end{eqnarray*}$ für a,b>0.

Auch für a,b<0 kann man die Umkehrfunktion bestimmen.

19.03.2011, 18:40

IHC

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du meinst ich kann die Funktion umkehren, indem ich für x Werte
größer Null einsetze

oder

indem ich für x werte kleine Null einsetze

hast du es so gemeint Igrizu?

19.03.2011, 18:51

lgrizu

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Wenn der Definitionsbereich von f(x)=x² positiv ist, dann kann man die Funktion umkehren, die Umkehrfunktion ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ .

Ist der Definitionsbereich von f(x)=x² negativ, so ist die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=-\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ .

19.03.2011, 18:53

IHC

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danke dir

gibt es sonst noch was anderes, was bei den umkehrfunktionen
besonders ist?

19.03.2011, 18:55

lgrizu

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Bei welchen Umkehrfunktionen?

19.03.2011, 18:56

IHC

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also ich meine sonderfälle, bei denen es gar nicht geht
oder irgend etwas anderes, bei dem man reinfallen könnte?

19.03.2011, 19:03

lgrizu

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Eine Funktion ist auf ihrem Def. Bereich umkehrbar, wenn sie bijektiv ist.

19.03.2011, 19:04

IHC

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biwas

19.03.2011, 19:10

lgrizu

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Okay, lassen wir die Begrifflichkeiten....

Es gibt einige Funktionen, die nicht auf ihrem Definitionsbereich umkehrbar sind, wohl aber auf einigen Intervallen.

Ich weiß jetzt nicht, was für Funktionen du schon kennen gelernt hast.....

19.03.2011, 19:11

IHC

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also:
-ganzrationale
-gebrochenrationale
-exponentialfunktionen
-logarithmus
-quadratische
-kubische ...
-...

19.03.2011, 19:15

lgrizu

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Du kannst dir ja mal überlegen, ob die Sinusfunktion auf dem Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} [-\pi, \pi] \end{eqnarray*}$ umkehrbar ist.

19.03.2011, 19:17

IHC

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sinusfunktion hatte ich schonmal in der 10. klasse

weis aber nicht mehr viel davon

19.03.2011, 19:20

lgrizu

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Ihr werdet sie noch einmal besprechen.

So viel schon mal: Sie hat eine Umkehrfunktion, allerdings nur auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \end{eqnarray*}$

19.03.2011, 19:21

IHC

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aha

das werde ich mir mal merken, auch wenn ich noch nichts
damit anfangen kann

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