Kreisfunktion (Einheitenkreis (sin,tan,cos))

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Mr Maths Auf diesen Beitrag antworten »
Kreisfunktion (Einheitenkreis (sin,tan,cos))
Hallo!

Wir machen in der Schule gerade das Thema "Kreisfunktion".
Da haben wir einen Einheitenkreis kennengelernt, aber mir ist es noch nicht so klar.

Hier mal ein Bsp:
Die folgenden Kreisfunktionswerte sind mit derselben Funktion mit einem spitzen Winkel ±(0<±< 90°) zuschreiben.

a.)sin 160°
b.)sin 201°
c.)tan 212°
d.)tan 308°
e.)cos 218°
f.)cos 298°

Es wäre nett wenn mir jemand das anhand eines Einheitenkreises(Bild hochladen) erklären könnte.

Danke im voraus smile .

Edit lgrizu: Bitte keine Links zu externen Hosts, du kannst dein Bild direkt hier hochladen, Link entfernt Bild angehängt
[attach]18698[/attach]

MfG Mr Maths
rslz Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip musst du als erstes überlegen, in welchen Quadranten des Einheitskreises das zu dem Winkel gehörende Dreieck liegt. Daraus kannst du dir dann herleiten, ob der sinus oder cosinus postiv oder negativ ist. Entsprechend projezierst du dann das Dreieck in den 1. Quadranden, sodass sich für den sinus oder cosinus derselbe Wert ergibt und fügst ggf. ein (-) hinzu.

Ein Beispiel: Aufgabe 5.6 d) des von dir hochgeladenen Bildes.
1. 218° = 2*90° + 38° also liegt das Dreieck im 3. Quadranten. Der Cosinus ist also negativ.
2. cos(38) ist aber positiv, also fügst du noch ein (-) hinzu!
Mr Maths Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke.

Ich meine aus dem Bild herauslesen geht ja einfach, aber wenn z.b nur cos(218°)(5.6 d) gegeben ist, dann weiß ich nur das sich der cos218 im 3. Quantranten befindet.
Soweit ist ja alles klar, aber dann weiß ich nicht ob ich jetzt in den 1. 2. oder 4. muss.

Das gleiche ist beim cos 298°(5.6 f) da kann ich das 1. Dreieck aufzeichnen(liegt im 4.), aber dann weiß ich nicht mehr wo ich da hin muss?

Bei sin und tan ist es genauso.

Wie geht das?
rslz Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst immer in den ersten Quadranten, du willst ja Winkel kleiner gleich 90° Augenzwinkern

Generell kannst du folgendes Verfahren benutzen:
gegeben sei ein Winkel x [Bsp: sin(1009°)]
1. Falls x > 360°, dann alle Vielfache von 360° entfernen, das sind ja volle Umdrehungen, die interessieren uns nicht.
--> 1009° - 2*360° = 1009° - 720° = 289°
2. x durch 90° teilen
--> 289° : 90° = 3 R:19°
--> Das Dereieck liegt also im 4. Quadrant
--> Dort ist der Sinus negativ!
3. Projektion in den 1. Quadranten
--> Um in vom 4. in den 1 zu kommen musst du an der x-Achse spiegeln.
--> Dabei wird der neue Winkel zu 90° minus dem Restwinkel 19°, also
--> 90°-19°=71° (falls unklar mach dir ne Skizze)
Somit ergibt sich:
==> sin(1009°)=-sin(71°)
Mr Maths Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke für deine Hilfe!

Und wie läuft es dann ab wenn: alpha (0° < alpha < 360°) ist/sein muss?

Kann es dann in allen Quantranten sein - Ne oder? verwirrt
rslz Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe nicht genau von welcher Aufgabenstellung du nun ausgehst.. verwirrt

Wenn der Ausgangswinkel kleiner als 360° lässt du den ersten Schritt einfach weg - es sind dann ja keine Vielfache von 360° im Winkel vorhanden.

Wenn der Endwinkel kleiner als 360° sein soll gibt es auch keinen Konflikt, da das Verfahren ja eh einen Winkel < 90° zurückliefert!
 
 
Mr Maths Auf diesen Beitrag antworten »

Ja z.b

wenn wir haben:

cos alpha = -0,7315

Also:
alpha 1=137° ---> ist im 2. Quantranten und nun muss man schon wo die "cos-länge" gleich ist also im welche Quatranten.

In diesem Fall ist ja bei cos der 2. Quantrant die Periodizität - also runter in den 3. Quantranten weil der ja auch - ist.
Darum:
alpha 2= 223°

Stimmt das?

Aber was ist jetzt wenn man den winkel zwischen 0 und 180° sucht den zweiten?
Wie geht man da vor? Nur im 1. und 2. Quatranten?

Und danke für deine Hilfe smile .

MfG Mr Math
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, stimmt, kann man auch ganz einfach nachprüfen:

Zitat:

Aber was ist jetzt wenn man den winkel zwischen 0 und 180° sucht den zweiten?
Wie geht man da vor? Nur im 1. und 2. Quatranten?


Kannst du dich hier etwas genauer ausdrücken...
Mr Maths Auf diesen Beitrag antworten »

Ah gut danke.

Mhm ok:

In der Schule haben wir ja 2 Bsp gemacht:

1.) Man hat 1 Winkel gegeben. Und man muss einen "gleichen" der alpha2 heißt im 1. Quantranten finden(Also zwischen 0 und 90°) Siehe erster Beitrag hier im Thema von mir.

und
2.) Man hat auch 1 Wnkel gegeben. Und mann muss einen "gleichen" der alpha2 heißt zwichen 0° und 360° finden. Siehe letzten Beitrag von mir(Auf den du Antgewortet hast)

Und jetzt möchte ich halt wissen wenn so eine Angabe kommt mit 0°-180° gleicher Winkel suchen ob das geht bzw. wie geht das dann?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Stell doch mal eine explizite Aufgabe.

Die Winkel sind auch nicht gleich, der Kosinus bzw. der Sinus von zwei unterschiedlichen Winkeln kann gleich sein.
Mr Maths Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke dann so:

Die folgenden Kreisfunktionswerte sind mit derselben Funktion mit einem spietzen Winkel alpha( 0 < alpha < 180°) zuschreiben.

Bsp:

Kannst du dir bitte aussuchen.
Wenns möglich ist mit cos, sin und tan erklären.

MfG Mr Maths
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich gebe dir einen überstumpfen Winkel vor und du sollst einen spitzen Winkel bestimmen, der die gleichen Sinus bzw. Kosinusweret annimmt, verstehe ich das richtig?

Dann bestimme einmal den spitzen Winkel, der den gleichen Kosinus hat wie 330° und den Winkel, der den gleichen Sinus hat wie 330°.
Mr Maths Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry ich hab mich dann bisschen falsch ausgedrückt.

Ich meinte das du dir selber eine Winkel aussuchen sollst und den dann mir vorrechnen sollt bzw. erklären.

Die Angabe steht ja oben smile .
Bitte.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich soll mir eine Aufgabe ausdenken und dir die dann vorrechnen? verwirrt

Fang doch einfach mal an:

Der Winkel sind 330°, welcher (andere) Winkel hat den gleichen Sinus wie dieser?

Dazu überlege zuerst, in welchem Quadranten der Winkel liegt, und ob der Sinus in diesem Quadranten positiv ist oder negativ, dann überlege dir, in welchem Quadranten der andere Winkel liegen muss.
Mr Maths Auf diesen Beitrag antworten »

Ok:

Der Winkel 330° liegt im 4. Quadranten also ist die Periodizität - (bei sinus).
Also müsste der 2. Winkel im 1. oder im 2. Quantranten liegen, wegen 180°.
Die Periodizitäten sind im 1. und 2. Quantranten von Sinus +.

Ab hier steh ich an.

Aber liegt er jetzt im 1. oder im 2.?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, der Winkel liegt im 4. Quadranten, ist der Sinus positiv oder negativ?
Mr Maths Auf diesen Beitrag antworten »

Im 4. Quadranten ist die Periodizität beim Sinus Minus.
Mr Maths Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie gehts jetzt weiter?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ist die Periodizität negativ? verwirrt

Der Sinus ist im 4. Quadranten negativ, das ist richtig.

In welchem Quadranten ist der Sinus noch negativ?
Mr Maths Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Sinus ist im 1. und im 2. im Quantranten Positiv und im 3. und 4. Quantranten negativ.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, der zweite Winkel befindet sich also im 3. Quadranten, nun noch die Frage, welcher es ist......
Mr Maths Auf diesen Beitrag antworten »

Der Winkel im 3. Quantraten wäre jetzt 210° oder?

Aber die Angabe sagt ja aus, dass
(Die folgenden Kreisfunktionswerte sind mit derselben Funktion mit einem spietzen Winkel alpha( 0° < alpha < 180°) zuschreiben.) der Winkel nicht über 180° sein darf?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist bei der Sinusfunktion aber schwer, denn der Sinus ist von 0 bis 180° positiv und von 180° bis 360° negativ.

Jetzt können wir uns das gleiche einmal für den Kosinus überlegen, ist dieser bei einem Winkel von 330° negativ oder positiv?

In welchem Quadranten ist der andere Winkel zu suchen?
Mr Maths Auf diesen Beitrag antworten »

Ok der Winkel von Kosinus 330° ist Positiv.
Der andere Winkel ist im 1. Quantraten und der ist dann 30°?

Also geht das mit zwischen 0° und 180° nur bei Kosinus oder auch net?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, richtig. Freude

Na schau an, klappt doch alles bestens...

Zitat:

Also geht das mit zwischen 0° und 180° nur bei Kosinus oder auch net?


Der Kosinus ist im 1. und im 4. Quadranten positiv, also zu einem Winkel zwischen 0 und 180° gibt es einen Winkel zwischen 180° und 360°, der den gleichen Kosinuswert hat.
Mr Maths Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke smile .

Also kann man das Bsp(mit den 180° und so...) das ich gesagt habe gar nicht oder schwer lösen auch mit Kosinus und Tangens?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Stell deine Fragen bitte etwas präziser, was ist nur schwer oder gar nicht zu lösen?
Mr Maths Auf diesen Beitrag antworten »

Ja also kann man nur solche Bsps lösen:

Die folgenden Kreisfunktionswerte sind mit derselben Funktion mit einem spitzen Winkel alpha(0 < alpha < 90°) zuschreiben.

a.) sin 201° --> liegt im 3. Quatranten(Negativ) und weil man ja einen anderen Winkel sucht der im 1. Quantranten ist(also zw. 0 und 90°) ist der Winkel dort -sin 21°.
Das - weil man vom 3. auf den 1. Quadrenten geht(von Negativ auf Positiv).

Oder wenn der Winkel im 2., 3. oder 4. Quadranten liegt, dann muss man den anderen Winkel immer im 1. Quadranten suchen.

Stimmt das in etwa?


b.)Die folgenden Kreisfunktionswerte sind mit derselben Funktion mit einem spitzen Winkel alpha(0 < alpha < 360°) zuschreiben.

Ok, dieses Bsp hier haben wir ja mit sin 330° und cos 330° gemacht oder?
Hier muss man einfach von Negativ zu Negativ bzw. Positiv zu Positv(Also bei den Quantranten)

Richtig?

c.)Die folgenden Kreisfunktionswerte sind mit derselben Funktion mit einem spitzen Winkel alpha(0 < alpha < 180°) zuschreiben.

Und dieses Bsp da hast du ja gesagt das dass mit einem Sinus schwer zum lösen ist.

Kann man das überhaupt lösen dieses Bsp?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Im 1. Quadranten gibt es keinen Winkel, der den gleichen Sinuswert annimmt, wie ein Winkel im 3. Quadranten.
Die "Mogelei" mit dem negativen Vorzeichen bringt dich nicht weiter, denn es ist: und schon bist du im 4. Quadranten gelandet.


Zitat:

Oder wenn der Winkel im 2., 3. oder 4. Quadranten liegt, dann muss man den anderen Winkel immer im 1. Quadranten suchen.


Es gibt nicht zu jedem Winkel einen Winkel im 1. Quadranten, der die gleichen Sinus bzw. Kosinus Werte annimmt.


Zitat:

Ok, dieses Bsp hier haben wir ja mit sin 330° und cos 330° gemacht oder?
Hier muss man einfach von Negativ zu Negativ bzw. Positiv zu Positv(Also bei den Quantranten)

Der Sinus ist im 3. und im 4. Quadranten negativ, im 1. und im 2. positiv.

Der Kosinus ist im 1. und im 4. Quadranten positiv, im 2. und im 3. Quadranten negativ, für den Kosinus findet man also für jeden Winkel zwischen 0 und 180° einen Winkel mit gleichem Wert zwischen 180° und 360°.
Mr Maths Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke für deine Mühe.
Du hast mir sehr geholfen. smile
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