V/U isomorph zu V

19.03.2011, 21:30

Ibn Batuta

V/U isomorph zu V

Aus Bosch, Lineare Algebra, Seite 75, Aufgabe 11.

$\begin{eqnarray*} \text{Man konstruiere ein Beispiel eines } K\text{-Vektorraums } V \text{ mit einem linearen Unterraum } 0\nsubseteq U\subset V \text{ derart, dass es einen Isomorphismus } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V/U\xrightarrow{\sim} V \text{ gibt. } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Gibt es ein solches Beispiel im Falle } \dim_K V < \infty \text{ ?} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:

Falls $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ endlichdimensional ist, klappt das nicht, da $\begin{eqnarray*} \dim V/U = \dim V - \dim U \end{eqnarray*}$ gilt. $\begin{eqnarray*} \dim V/U=V \end{eqnarray*}$ ist nur für $\begin{eqnarray*} U=\{0\} \end{eqnarray*}$ erfüllt, aber nach
Vorraussetzung gilt, daß $\begin{eqnarray*} 0\nsubseteq U \end{eqnarray*}$ sein muß. Ergo kann es keinen solchen Isomorphismus geben.

Nun zum unendlichdimensionalen Fall.

Dazu habe ich mir folgendes überlegt. Es sei $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ der Vektorraum aller reellen Polynomfunktionen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und die Abbildung $\begin{eqnarray*} \rho: V\to V, p\mapsto p+p' \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} p' \end{eqnarray*}$ bezeichne die Ableitung eines Polynoms.

Was ich nun zeigen muß ist, daß diese Abbildung injektiv ist und damit $\begin{eqnarray*} V/\text{ker } f \xrightarrow{\sim} V \end{eqnarray*}$ ist.

Gut, dann fange ich mal an.

Für jedes vom Nullpolynom verschiedene $\begin{eqnarray*} p\in V \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \text{Grad(p')}<\text{Grad(p)} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \text{Grad(p+p')}=\text{Grad(p)} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist aber $\begin{eqnarray*} f(p)=p+p' \end{eqnarray*}$ ebenfalls vom Nullpolynom verschieden und somit $\begin{eqnarray*} \text{ker f}=\{ 0 \} \end{eqnarray*}$ . Damit isf $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv und $\begin{eqnarray*} V/\text{ker f}\xrightarrow{\sim}V \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt?

Ibn Batuta

19.03.2011, 21:40

jester.

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$\begin{eqnarray*} 0\not\subseteq U \subset V \end{eqnarray*}$ steht nicht im Bosch. Das geht ja auch gar nicht, dann wäre nämlich $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ kein linearer Unterraum. Dort steht $\begin{eqnarray*} 0 \subsetneq U \subset V \end{eqnarray*}$ .

Du hast Recht, im endlichdimensionalen Fall gibt es so etwas nicht.

Im unendlichdimensionalen Fall geht es, deinen Ansatz kann ich aber gar nicht nachvollziehen. Warum willst du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \ker f =0 \end{eqnarray*}$ ? Dann hast du doch nichts gewonnen. Du sollst einen nichttrivialen Unterraum herausfaktorisieren und trotzdem noch den ganzen Vektorraum (bis auf Isomorphie) erhalten.
Also brauchen wir einen surjektiven, aber nicht injektiven Endomorphismus des Polynomraums (der tuts). Es gibt allerdings einen einfacheren Endomorphismus als den von dir gewählten.

19.03.2011, 21:51

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von jester.
$\begin{eqnarray*} 0\not\subseteq U \subset V \end{eqnarray*}$ steht nicht im Bosch. Das geht ja auch gar nicht, dann wäre nämlich $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ kein linearer Unterraum. Dort steht $\begin{eqnarray*} 0 \subsetneq U \subset V \end{eqnarray*}$ .

Ja, das meinte ich auch damit. Wußte nur nicht, wie ich das in LaTeX hinschreiben kann, so wie es im Bosch steht. Tut mir Leid.

Zitat:

Original von jester.
Im unendlichdimensionalen Fall geht es, deinen Ansatz kann ich aber gar nicht nachvollziehen. Warum willst du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \ker f =0 \end{eqnarray*}$ ? Dann hast du doch nichts gewonnen. Du sollst einen nichttrivialen Unterraum herausfaktorisieren und trotzdem noch den ganzen Vektorraum (bis auf Isomorphie) erhalten.
Also brauchen wir einen surjektiven, aber nicht injektiven Endomorphismus des Polynomraums (der tuts). Es gibt allerdings einen einfacheren Endomorphismus als den von dir gewählten.

Hmm.. Wenn $\begin{eqnarray*} \text{ker }f =\{0\} \end{eqnarray*}$ ist, dann hätte ich doch den Isomorphismus $\begin{eqnarray*} V/\text{ker }f \xrightarrow{\sim} V \end{eqnarray*}$ . Zumindest was das mein Gedankengang. verwirrt

Was wäre denn ein einfacherer Endomorphismus? Mein erster Gedanke war $\begin{eqnarray*} p\mapsto p' \end{eqnarray*}$ , aber den habe ich dann verworfen....

Ibn Batuta

19.03.2011, 21:55

jester.

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$\begin{eqnarray*} p\mapsto p' \end{eqnarray*}$ ist genau die richtige Wahl.

So, natürlich ist immer $\begin{eqnarray*} V/\{0\} \cong V \end{eqnarray*}$ , das ist ja uninteressant. Der Witz an dieser Aufgabe ist ja gerade, einen "größeren" Unterraum zu finden, sodass der Quotient immer noch zum Gesamtraum isomorph ist.
Wenn wir diesen Raum nun als Kern eines nichtinjektiven aber surjektiven Endomorphismus realisieren können, bekommen wir die gewünschte Isomorphie aus dem Homomorphiesatz.

19.03.2011, 22:05

Ibn Batuta

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Aha!

Ich muß also lediglich zeigen, daß der Endomorphismus $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv ist?

Dann kriege ich nämlich $\begin{eqnarray*} \text{im}(f)=V \end{eqnarray*}$ (da surjektiv) und mit dem Homomorphiesatz folgt $\begin{eqnarray*} V/\ker f\xrightarrow{\sim} \text{im}(f) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} V/\text{ker}(f)\xrightarrow{\sim}V \end{eqnarray*}$ .... Richtig so?

Ibn Batuta

19.03.2011, 22:07

jester.

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Ja, $\begin{eqnarray*} \ker f \neq 0 \end{eqnarray*}$ sollte bei $\begin{eqnarray*} p\mapsto p' \end{eqnarray*}$ klar sein. Ansonsten ist aber genau das die Idee und das richtige Vorgehen.

19.03.2011, 22:19

Ibn Batuta

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Super, danke dir! smile

Ibn Batuta

22.03.2011, 21:40

Ibn Batuta

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Nun. Es sei $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ und als Abbildung $\begin{eqnarray*} \rho : V\to V , \sum_{k=0}^n a_k X^k \mapsto \sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1} \end{eqnarray*}$ .

Nun möchte ich zeigen, daß diese Abbildung ein surjektiver Endomorphismus ist.

Zeige zuerst, daß es ein Endomorphismus ist.

Sei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_k X^k, \sum_{k=0}^n b_k X^k\in V \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \rho\left( \sum_{k=0}^n a_k X^k + \sum_{k=0}^n b_k X^k \right) = \rho\left( \sum_{k=0}^n (a_k+b_k) X^k \right) = \sum_{k=1}^n k(a_k+b_k) X^{k-1} \in V \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \rho\left( \lambda \sum_{k=0}^n a_k X^k \right) = \rho\left( \sum_{k=0}^n \lambda a_k X^k \right) = \sum_{k=1}^n \lambda k a_k X^{k-1} = \lambda\cdot \sum_{k=1}^n k a_k X^{k-1} \in V \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ ein Endomorphismus. Zur Surjektivität dieser Abbildung. Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} \forall p' \in V \exists p\in V : \rho(p)=p' \end{eqnarray*}$

Sei also $\begin{eqnarray*} p'= \sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1} \end{eqnarray*}$ beliebig, dann $\begin{eqnarray*} \exists p=\sum_{k=0}^n a_k X^k : \rho(p)=\rho\left( \sum_{k=0}^n a_k X^k \right) = \sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1} = p' \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ surjektiv. Nach dem Isomorphiesatz folgt nun $\begin{eqnarray*} V/\ker\rho\xrightarrow{\sim}V \end{eqnarray*}$ .

Ist das soweit korrekt?

Ibn Batuta

22.03.2011, 23:48

jester.

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Die Tatsache, dass es ein Endomorphismus ist, könnte man zwar etwas ausführlicher durchführen, andererseits ist es jedoch klar. Ich denke das musst du selber abwägen, wie sehr du da ins Detail gehst.

Was mich jedoch ein bisschen stört, ist die Surjektivität:

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Zur Surjektivität dieser Abbildung. Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} \forall p' \in V \exists p\in V : \rho(p)=p' \end{eqnarray*}$

Sei also $\begin{eqnarray*} p'= \sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1} \end{eqnarray*}$ beliebig, dann $\begin{eqnarray*} \exists p=\sum_{k=0}^n a_k X^k : \rho(p)=\rho\left( \sum_{k=0}^n a_k X^k \right) = \sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1} = p' \end{eqnarray*}$

Eigentlich musst du doch zeigen, dass du für jedes Polynom $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_k X^k \end{eqnarray*}$ auch eine Darstellung als $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k a_k X^{k-1} \end{eqnarray*}$ angeben kannst. D.h. wir nehme zunächst mal einfach nur ein Polynom von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in allgemeiner Darstellung und konstruieren dann ein Polynom, das abgeleitet genau unser ausgewähltes Polynom ergibt.
Diese gewünschte Darstellung zu finden, ist aber nicht schwer. smile

23.03.2011, 00:01

Ibn Batuta

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Hmm, wie könnte man es ausführlicher machen? Stehe da auf dem Schlauch, genauso wie bei deinem Tipp zur Surjektivität. verwirrt

Ich wähle ein $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_k X^k \in V \end{eqnarray*}$ , das leite ich nun ab und erhalte $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1} \end{eqnarray*}$ .

Oder ausgeschrieben...

$\begin{eqnarray*} a_0+a_1X^1+a_2X^2+...+a_nX^n \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} a_1X^0+a_2X^1+3a_3X^2+...+na_n X^{n-1} \end{eqnarray*}$

Nun wähle ich $\begin{eqnarray*} a_0+a_1X^1+a_2X^2+...+a_nX^n+a_nX^{n+1} \end{eqnarray*}$ oder anders geschrieben $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1} a_k X^k \in V \end{eqnarray*}$ . Das ergibt abgeleitet $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} ka_k X^{k-1} \in V \end{eqnarray*}$ . Das stimmt ja fast mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_k X^k \in V \end{eqnarray*}$ überein, außer daß einmal der Index bei k=0 und einmal bei k=1 beginnt... Ich glaube ich stehe da total auf dem Schlauch.

Ibn Batuta

23.03.2011, 00:12

jester.

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Du wolltest zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ ein Endomorphismus ist. Du hast gezeigt $\begin{eqnarray*} \rho(p+q)\in V, ~ \rho(\lambda \cdot p) \in V \end{eqnarray*}$ für Polynome $\begin{eqnarray*} p,q \in V, ~ \lambda \in K \end{eqnarray*}$ .
Was nicht explizit dasteht ist $\begin{eqnarray*} \rho(p+q)=\rho(p)+\rho(q) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \rho(\lambda \cdot p)=\lambda \cdot \rho(p) \end{eqnarray*}$ (man könnte die Summe am Ende noch aufteilen - wie gesagt, die Menge an Details legst du fest).

Dann zur Surjektivität. Surjektivität bedeutet, dass wir zu jedem Polynom $\begin{eqnarray*} p \in V \end{eqnarray*}$ ein Polynom $\begin{eqnarray*} q\in V \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gerade die Ableitung von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ist.

Ein Beispiel, zu $\begin{eqnarray*} X^2+1 \end{eqnarray*}$ finden wir $\begin{eqnarray*} 3^{-1} X^3 +X \end{eqnarray*}$ . Ähnliche Beispiele findest du selbst.
Welches Polynom ergibt abgeleitet gerade $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_k X^k \end{eqnarray*}$ ? Das ist das Polynom das wir hier suchen.

Das Vorgehen "Ich wähle ein $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_k X^k \in V \end{eqnarray*}$ , das leite ich nun ab [...]" führt uns nicht weiter, da wir gerade ein Urbild zu diesem Polynom unter der Ableitunsgabbildung suchen. Im weitesten Sinne also eine "Stammfunktion".

23.03.2011, 00:27

Ibn Batuta

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Ah ja.... Ich trottel....

Das gesuchte Polynom lautet natürlich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} a_k\frac 1 {k+1} X^{k+1} \end{eqnarray*}$ . Das Polynom abgeleitet ergibt genau $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} a_k X^{k} \end{eqnarray*}$ .

Kann ich den Beweis dann so führen?

Sei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} a_k X^{k} \in V \end{eqnarray*}$ beliebig, dann $\begin{eqnarray*} \exists \sum_{k=0}^{n} a_k\frac 1 {k+1} X^{k+1} : \rho(\sum_{k=0}^{n} a_k\frac 1 {k+1} X^{k+1})=\sum_{k=0}^{n} a_k X^{k} \end{eqnarray*}$

Hätte ich somit gezeigt, daß die Abbildung surjektiv ist? Danke dir vielmals. smile

Ibn Batuta

23.03.2011, 00:40

jester.

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Ja, denn damit haben wir für jedes Polynom ein geeignetes Urbild angegeben und somit "trifft" die Ableitung jedes Polynom. Freude

23.03.2011, 00:41

Ibn Batuta

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Ich danke dir für deine Superhilfe. smile

Ibn Batuta

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