Obere Schranke der Grenzwert der Folge e

19.03.2011, 22:12	natural	Auf diesen Beitrag antworten »
Obere Schranke der Grenzwert der Folge e Hi Leute Ich will zeigen das die Folge $\begin{eqnarray} a_{n} = \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray}$ durch 3 nach oben beschränkt ist $\begin{eqnarray} \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ \ $\begin{eqnarray} \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ Ist das so richtig, wie ich das gemacht habe: $\begin{eqnarray} a_{n} = \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{n^{k} } = \sum\limits_{k=0}^n \frac{n!}{k!\cdot \left(n- k\right)! n^{k}} =\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \frac{n!}{\left(n- k\right)! n^{k}} \leq \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!}=1+\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k!} \leq 1+\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{2^{k} } \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} 1+\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2^{k} } \end{eqnarray}$ ergibt sich dann $\begin{eqnarray} 1+\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2^{k} }=1+\frac{1}{1- \frac{1}{2} } =3 \end{eqnarray}$ mfg natural

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