Einschachtelungssatz/Einschnürungssatz

20.03.2011, 03:21

natural

Einschachtelungssatz/Einschnürungssatz

Hallo Zusammen Wink

Ich bin gerade dabei folgende Aufgaben zu lösen:
Berechnen Sie:
a) $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty } \left(\left(\frac{n}{n+ 1} \right)^{n} + \left(1+ \frac{3}{n} \right)^{n\cdot k} \right) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty } \left(\left(1- \frac{1}{n} \right)^{n} + \left(1+ \frac{1}{3n} \right)^{n} \right) \end{eqnarray*}$

Dabei habe ich vor den Einschachtelungssatz/Einschnürungssatz zu verwenden, der wie folgt lautet:

Ist $\begin{eqnarray*} \left(a_{n} \right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(b_{n} \right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ konvergente Folgen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} a_{n} ---->a \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} b_{n} ---->b \end{eqnarray*}$
und sei $\begin{eqnarray*} \left(c_{n} \right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ eine weitere Folge reeler Zahlen.

a) $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq b_{n} \forall n\geq n_{0} \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} a\leq b \end{eqnarray*}$ .
b) Ist $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} \forall n\geq n_{0} \end{eqnarray*}$ und ist $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} c_{n} ---->c \end{eqnarray*}$

Ist der Einschachtelungssatz/Einschnürungssatz ein guter Ansatz diese und ähnliche Aufgabentypen in den Griff zu kriegen oder kommt es immer auf der Aufgabe (selben Aufgabentyps) an?

mfg
natural smile

20.03.2011, 08:15

Pustefix91

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RE: Einschachtelungssatz/Einschnürungssatz
Den Einschachtelungssatz brauchst du hier gar nicht. Was hilft ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{x}{n})^{n} = e^{x} \end{eqnarray*}$

Schönen Gruß Pustefix91

20.03.2011, 12:24

natural

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RE: Einschachtelungssatz/Einschnürungssatz
Danke für deine Antwort

Gibt es dann eigentlich für solche Aufgaben einen Allgemeinen Ansatz?

20.03.2011, 14:31

Pustefix91

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RE: Einschachtelungssatz/Einschnürungssatz

Zitat:

Original von natural
Danke für deine Antwort

Gibt es dann eigentlich für solche Aufgaben einen Allgemeinen Ansatz?

Was genau meinst du mit "solche Aufgaben" ? Der Ansatz für diese beiden Aufgaben habe ich ja schon gepostet.

Schönen Gruß Pustefix91

20.03.2011, 16:28

natural

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Ich bin mit einer teilweisen falschen Vorstellung in den Aufgaben rangegangen

Da $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ eine Transzendente Zahl ist, heißt das auch das die Grenzwerte der beiden Aufgaben weder eine natürliche Zahl,
sonst noch eine rationalen Grenwert haben und deshalb $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{x}{n})^{n} = e^{x} \end{eqnarray*}$ verwendet wird?

mfg
natural smile

21.03.2011, 13:27

Pustefix91

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So sehr habe ich mir darüber keine Gedanken gemacht. Das ist (denke ich) auch gar nicht nötig. Versuch doch einfach Mal meinen Ansatz anzuwenden.

Schönen Gruß Pustefix91

21.03.2011, 14:14

Manni Feinbein

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RE: Einschachtelungssatz/Einschnürungssatz
Hier kommen die, in diesem Zusammenhang immer wieder nützlichen, Grenzwertsätze zum Tragen.

Untersuche dazu in a) zunächst einmal

$\begin{eqnarray*} \left(\frac n{n+1}\right)^n=\frac 1{\left(1+\frac 1n\right)^n} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac 3n\right)^{nk}=\left(\left(1+\frac 1{\frac n3}\right)^{\frac n3}\right)^{3k}, \end{eqnarray*}$

um dann den gesuchten Grenzwert zu bestimmen

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