Lebesgue

02.12.2006, 17:47

jentowncity

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Lebesgue

Hallo Leute!

Hab ein paar Schwierigkeiten bei dieser Aufg.:

Sei A Teilmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ messbar, und für $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ seien
$\begin{eqnarray*} f_{k}:A->\mathbb C \end{eqnarray*}$ Lebesgue-integrierbar.

Die Folge $\begin{eqnarray*} (f_{k})_{k\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ konvergiere auf A gleichmäßig gegen f.
Zeigen Sie, dass auch f über A integrierbar ist, und dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{A}^{}~\lim_{k \to \infty} f_{k}(x)~dx = \lim_{k \to \infty} \int_{A}^{}~ f_{k}(x)~dx \end{eqnarray*}$

Wie mach ich das?
Ich hab überhaupt keine Idee
verwirrt

verwirrt

02.12.2006, 18:17

Mazze

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Entweder den Satz über die monotone Konvergenz oder den Satz über die majorisierte Konvergenz benutzen. Ich denke letzteres führt zum Ziel da es wegen der gleichmäßgen Konvergenz eine integrierbare obere Schranke g(x) mit $\begin{eqnarray*} |f_k| \leq g(x) \forall k \end{eqnarray*}$ geben müsste.

02.12.2006, 18:22

Dual Space

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RE: Lebesgue
Da $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergiert, existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0(\varepsilon)\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} |f_n -f|<\varepsilon\quad\forall n\geq n_0(\varepsilon) \end{eqnarray*}$

Hilft das schon?

02.12.2006, 18:30

jentowncity

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RE: Lebesgue
Danke euch beiden für die Antworten!

Aber ich kann leider wenig damit anfangen, ich hab zwar den Königsberger 2, wo auch der Beweis von dem Satz von der majorisierten Konvergenz drin steht, aber ich verstehe nicht was da gemacht wird...

Ich bin Physiker und bei uns ist es so, dass wir es als selbstverständlich ansehen Limes und Integration zu vertauschen, deshalb verstehe ich auch nicht so wirklich, wo hier das Problem ist und was ich hier zeigen soll
unglücklich

unglücklich

02.12.2006, 18:31

Dual Space

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RE: Lebesgue

Zitat:

Original von jentowncity
Ich bin Physiker und bei uns ist es so, dass wir es als selbstverständlich ansehen Limes und Integration zu vertauschen,...

Joa .... obwohl das im allgemeinen flasch ist. Big Laugh

Big Laugh

02.12.2006, 18:40

AD

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Ich denke, es fehlt die Voraussetzung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hat endliches Lebesgue-Maß.

Ansonsten lässt sich sehr leicht ein Gegenbeispiel angeben: $\begin{eqnarray*} f(x)=0,f_n(x)=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

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02.12.2006, 18:41

Mazze

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Zitat:

Joa .... obwohl das im allgemeinen flasch ist.

Und wie das falsch ist, es ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{e^{nx}} = 0 \| x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ aber es ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{n}{e^{nx}} =\lim_{n \to \infty} \frac{-1}{e^n} + 1 = 1 \neq 0 = \int_{0}^{1} 0 dx = \int_{0}^{1} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{e^n} dx \end{eqnarray*}$

So zu dem Satz, wenn Du eine auf A integrierbare Funktion g(x) findest so das $\begin{eqnarray*} |f_k| \leq g(x) \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist auch f integrierbar und insbesondere vertauschen Integral und Grenzwert.

02.12.2006, 18:46

AD

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Sorry, mein Gegenbeispiel von eben verletzt die Voraussetzung der Integrierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ . Also eine leichte Anpassung:

Da $\begin{eqnarray*} \lambda(A)=+\infty \end{eqnarray*}$ , gibt es Teilmengen $\begin{eqnarray*} A_n\subset A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda(A_n)=n \end{eqnarray*}$ . Und damit korrigiere ich mein Beispiel zu $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{1}{n}\cdot 1_{A_n}(x) \end{eqnarray*}$ . Jetzt aber... Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.12.2006, 18:55

jentowncity

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Oh mann, das ist wohl doch nicht so einfach mit Limes und Integral...

@Mazze: wie soll ich denn g(x) finden, es ist ja nix vorgegeben?
Das soll ja alles allgemein gezeigt werden, ich verstehe nicht, warum ich eine konkrete Funktion überhaupt suchen muss.
Denn wenn ich das für diese Funktion bewiesen hab, dann bedeutet das ja noch nicht, dass es im allgemeinen gilt

02.12.2006, 19:11

Mazze

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Also Deine Funktionenfolge konvergiert gleichmäßig, das heißt vor allem das die Funktion nicht unterwegs irgendwie nach unendlich abhaut und wieder zurück kommt. Und wenn Du ein endliches Maß hast kannst Du eine integrierbare konstante Funktion für jedes beliebige f angeben. Man muss das halt nur noch etwas genauer betrachten.

02.12.2006, 19:37

jentowncity

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Kannst du mir vielleicht noch "eine Ecke" mehr verraten?

Ich weiß nicht wie ich so eine Funktion finden soll...

02.12.2006, 19:40

Dual Space

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Nimm z.B. $\begin{eqnarray*} g=f+2(|f|+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ und betrachte die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\geq n_0(\varepsilon)} \end{eqnarray*}$ .

Edit: $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$

Edit 2: $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$

02.12.2006, 20:01

jentowncity

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Tut mir Leid, ich versteh nur Bahnhof Hammer

Hammer

Ich hab gar keine Ahnung wie ich hier irgend einen Fortschritt machen kann...

02.12.2006, 21:04

Dual Space

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Zitat:

Original von Mazze
Entweder den Satz über die monotone Konvergenz oder den Satz über die majorisierte Konvergenz benutzen. Ich denke letzteres führt zum Ziel da es wegen der gleichmäßgen Konvergenz eine integrierbare obere Schranke g(x) mit $\begin{eqnarray*} |f_k| \leq g(x) \forall k \end{eqnarray*}$ geben müsste.

Nun hab ich dir schon gesagt, wie g evtl. aussehen muss ... also was ist nun?

02.12.2006, 22:29

jentowncity

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Tut mir Leid Dual Space, aber ich schnalls einfach nicht Forum Kloppe

Forum Kloppe

Ok, ich kenne jetzt das g(x), und das ist die Majorante von f_k, und nun?

Nach Königsberger würde das weiter Vorgehen so aussehen:
man wählt zunächst $\begin{eqnarray*} g_{k}:=sup\{f_{i}~|~i\geq k\} \end{eqnarray*}$ Wobei $\begin{eqnarray*} g_{k} \end{eqnarray*}$ der Limes der monoton wachsenden Folge $\begin{eqnarray*} g_{k,v} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g_{k,v}:=max\{f_{k},...,f_{k+v}\} \end{eqnarray*}$ für v=0,1,2,...
Jetzt sagt er weiter: Die Funktionen $\begin{eqnarray*} g_{k,v} \end{eqnarray*}$ sind integrierbar (warum?) und die Folge ihrer Integrale ist durch das Integral über g(x) beschränkt.
Dann folgert er: nach dem Satzt von Bepo Levi ist also auch $\begin{eqnarray*} g_{k} \end{eqnarray*}$ integrierbar und es gilt

$\begin{eqnarray*} \mid \int_{}^{}~g_{k}~dx \mid =\mid \lim_{v \to \infty}\int_{}^{}~g_{k,v}~dx \mid \leq \int_{}^{}~g~dx \end{eqnarray*}$

Die Folge g_k konvergiert monoton fallend gegen f. Außerdem ist die Folge der Integrale der g_k wie soeben festgestellt beschränkt. Nach dem Satz von B.Levi ist also auch f integrierbar mit

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~f~dx =\lim_{k \to \infty} \int_{}^{}~g_{k}~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt zeigt er dass die letzte Formel auch gilt, wenn er für g_k stannt dem Supremum das Infimum nimmt und folgert dann: da f_k zwischen Supremum und Infimum liegt, die Aufgabe bewiesen ist (allerdings war hier nicht die Rede von glm. Konvergenz).

Das hab ich jetzt verstanden. Aber du willst das über Epsilon zeigen. Ist es weil in der Aufgabe gleichmäßige Konvergenz vorkommt?

02.12.2006, 23:13

Mazze

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Du denkst zu kompliziert, damit

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \int_{}^{} f_n dx = \int_{}^{} f dx \end{eqnarray*}$

gilt musst Du lediglich die Existenz eines Integrierbaren g's nachweisen mit $\begin{eqnarray*} |f_n| \leq g \end{eqnarray*}$ auf dem Bereich A. Das ist ganz analog zu dem was Du als Majorantenkriterium für Reihen kennst. Das g hat Dir Dualspace ja schon in etwa gesagt, musst Du nur noch schauen ob es integrierbar ist und ob es immer größer als $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ist.

03.12.2006, 10:58

Dual Space

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Zitat:

Original von Mazze
Das g hat Dir Dualspace ja schon in etwa gesagt, musst Du nur noch schauen ob es integrierbar ist und ob es immer größer als $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ist.

Ja unbedingt, hab das nicht nachgerechnet.

03.12.2006, 11:18

jentowncity

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Aha, und wie zeig ich das?
Die einzige Idee, die ich hab ist das hier: $\begin{eqnarray*} |f_n -f|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ nach f umzuformen
und hier: $\begin{eqnarray*} g=f+2(|f|+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Aber wie zeig ich, dass das g integrierbar ist?
Ich weiß gar nicht was ich hier nachrechnen soll...

Tut mir Leid Jungs, wenns um Beweise geht, bin ich eine echte Null.

MfG hä?

04.12.2006, 19:06

jentowncity

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Könnt ihr mir vielleicht eine Lösungsskizze geben (eine etwas ausführlichere)? smile

smile

Nächstes mal werd ich dann auch keine Aufgaben mehr stellen, von denen ich gar keine Ahnung habe

MfG jentowncity

04.12.2006, 19:42

Dual Space

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$\begin{eqnarray*} |f_n|=|f_n - f +f|\leq |f_n -f| + |f|\leq \varepsilon +|f|=:g\quad\forall n\geq n_0(\varepsilon) \end{eqnarray*}$

Also wenn das so definierte g nimmst haut es hin.

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