Z[sqrt(d)] Hauptidealring? |
| 20.03.2011, 12:56 | BrightSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Z[sqrt(d)] Hauptidealring? Gibt es eine einfache Möglichkeit zu prüfen (Kriterium) ob (d in Z) ein Hauptidealring ist? Vielen Dank im Voraus. lg |
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| 20.03.2011, 21:33 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich glaube nicht, dass es so etwas gibt. Meines Wissens existieren zwar vollständige Listen derjenigen imaginärquadratischen Zahlenkörper, deren Ganzheitsringe Euklidisch sind und es gibt wohl ein paar Listen, auf denen reellquadratische Zahlkörper vermerkt sind, deren Ganzheitsringe Euklidisch oder Hauptidealbereiche sind, aber die Listen zu den reellquadratischen Zahlkörpern sind wohl nicht vollständig. Insbesondere ist mir kein Verfahren oder Kriterium bekannt, an dem man sofort erkennen könnte, dass beispielsweise nicht faktoriell ist. Genaueres zu diesem Thema findest du beispielsweise in "Einführung in die Zahlentheorie" von Peter Bundschuh oder auch in Büchern zur algebraischen Zahlentheorie. |
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| 20.03.2011, 22:05 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich denke, die Liste der reellquadratischen Zahlkörper, deren Ganzheitsringe euklidisch sind, ist wohl noch vollständig, siehe z.B. hier, wo man dann auch noch Links zu weiteren Listen findet, welche vielleicht in diesem Zusammenhang interessant sein könnten... |
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| 21.03.2011, 18:56 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau die quadratischen Zahlkörper mit Diskriminante d=-11,-8,-7,-4,-3,5,8,12,13,17,21,24,28,29,33,37,41,44,57,73,76 sind normeuklidisch. Imaginärquadratische Zahlkörper, deren Maximalordnungen Hauptidealringe sind, habe die Diskriminante d=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-47,-163. Es ist noch unbekannt, ob unendlich viele Hauptidealringe unter den Hauptordnungen reellquadratischer Zahlkörper vorkommen oder nicht. (siehe Leutbecher, Zahlentheorie, 8.4). |
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