Gerade & Ebene

02.12.2006, 18:07

Bujashaka

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Gerade & Ebene

Es wird eine Gerade gesucht, die durch den Punkt O geht und mit den drei Ebenen

$\begin{eqnarray*} 3x-4y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$

gleiche Winkel einschließt. Wie groß ist der Winkel?

Kann mir jemand sagen, wie ich an die Sache heran gehen muss?

02.12.2006, 18:29

tigerbine

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RE: Gerade & Ebende
Wie berechnet man den Winkel zwischen Gerade und Ebene?

02.12.2006, 18:40

Bujashaka

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RE: Gerade & Ebende
$\begin{eqnarray*} \phi = \arcsin(\frac{|\vec{n}*\vec{a}|}{|\vec{n}|*|\vec{a}|}) \end{eqnarray*}$

Den Normalenvektor erkenne ich aus den EGleichungen. Fehlt mir nur der Stützvektor der Geraden.

02.12.2006, 18:43

tigerbine

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RE: Gerade & Ebende
Naja, du müsstet halt noch benutzen, dass der Winkel zwischen Ebene und Gerade für alle 3 Ebenen gleich sein soll, oder?

02.12.2006, 18:49

mYthos

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RE: Gerade & Ebende

Zitat:

Original von Bujashaka
...
Fehlt mir nur der Stützvektor der Geraden.

Die Gerade geht durch den Ursprung, so viel zum Stützvektor smile

smile

mY+

02.12.2006, 18:51

Bujashaka

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RE: Gerade & Ebende
Ja... Habe dadurch 3 Winkelgleichungen, die alle gleich sind.

komme damit auf:

$\begin{eqnarray*} \phi = \arcsin(\frac{|3a_1-4a_2|}{5*\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \arcsin(\frac{|1a_2|}{1*\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \arcsin(\frac{|1a_3|}{1*\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}) \end{eqnarray*}$

zu mYthos:

Habe aus dem Punkt ein "O" und keine Null gelesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das würde Sinn ergeben mit dem Ursprung.

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02.12.2006, 18:59

mYthos

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Wie kommst du auf den Sinus? (Hat die Biene - glaub' ich - nur übersehen). Es ist der Cosinus.

Ansonsten passt's, musst jetzt zwei Gleichungen daraus machen. Die dritte Gleichung "fehlt", das ist jedoch klar, weil ..... . Kommst du darauf?

(Was kann bei den Koordinaten des Richtungsvektors verändert werden, ohne dass sich die Richtung selbst ändert?)

mY+

02.12.2006, 19:09

Bujashaka

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Ich habe nochmal nachgesehen. Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade wird mit dem Sinus berechnet.

http://sites.inka.de/picasso/Schnurr/Schnittwinkel.html

Ich verstehe nicht ganz deinen Tipp...

Also zwei Gleichungen? Meinst du etwa:

$\begin{eqnarray*} \arcsin(\frac{|3a_1-4a_2|}{5*\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \arcsin(\frac{|1a_2|}{1*\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \arcsin(\frac{|3a_1-4a_2|}{5*\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \arcsin(\frac{|1a_3|}{1*\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}) \end{eqnarray*}$

ehm... die Richtung ändert sich nicht, wenn der Richtungsvektor mit einem $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ multipliziert wird.

02.12.2006, 19:12

riwe

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ja ist meines wissens der sinus, da es der winkel zwischen richtungsvektor der geraden und NORMALENvektor der ebene ist
und sin(a) = cos(90-a) oder so ähnlich.
aber eigentlich ist das doch für die rechnung egal verwirrt

verwirrt

werner

02.12.2006, 19:16

mYthos

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Richtig (sorry wegen der Anmahnung!), in diesem Fall ist's egal, ob der Schnittwinkel der Geraden mit den Ebenen oder deren Normalvektoren betrachtet wird, gleich bleiben diese oder jene, man muss nur wissen, was man tut Big Laugh

Big Laugh

Der Winkel zweier Vektoren direkt wird mit dem Cosinus berechnet, der mit der Ebene mit dem Sinus, weil es dann der Komplementärwinkel ist.

Wenn die Winkel gleich sind (und du betrachtest die im 1. Quadranten), sind auch die sin- bzw. cos-Fkt. gleich.

Für die dritte Gleichung kannst du eine der Koordinaten wählen .... bzw. als bekannt voraussetzen.

Wie du erkannt hast, kommt es auf die Länge nicht an.

mY+

02.12.2006, 19:26

riwe

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ich würde es mir ein bißerl - oder viel - leichter machen.
wähle doch einen richtungsEINHEITSvektor! dann fallen die wurzeln weg (und nachher kannst ja wieder den parameter geiegnet erweitern):
dann hast

(I) a² + b² + c² = 1!!!!!!

und sofort b = c , sowie 3a - 4b = 5b
und das setzt du nun in (I) ein
werner

02.12.2006, 19:31

mYthos

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@werner

er braucht ja beim Gleichsetzen ohnehin nur mit 5 erweitern, a2 stehenlassen oder 1 setzen (z.B.) und dann den Nenner weglassen, dann kommen im Prinzip dieselben Gleichungen, die du gerade beschrieben hast. Aus dem Richtungsvektor dann durch a2 abkürzen, oder wenn a2 = 1 gesetzt wurde, ist er schon fertig.

Viele "fürchten" sich vor der quadr. Gleichung, die man gern vermeidet.

02.12.2006, 19:48

Bujashaka

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So jetzt bin ich ein wenig verwirrt.

Vielleicht könntet ihr ja die Schritte an einer Formel zeigen bzw. etwas anschaulicher machen.

Also den Tipp von Werner kann ich nur bedingt nachvollziehen.

Der Einheitsvektor als Richtungsvektor hat sicherlich den Vorteil, dass die Länge 1 ist. aber bei den beiden anderen Gleichungen, wäre bei $\begin{eqnarray*} \vec{e_1} \end{eqnarray*}$ die Komponente e_2 und e_3 gleich null und die beiden anderen arcsin Fkt. würden wegfallen bzw. ich hätte $\begin{eqnarray*} \arcsin {0} = 0 \end{eqnarray*}$

02.12.2006, 20:02

mYthos

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Da eine dritte Gleichung nicht gegeben ist, löst du zunächst die beiden gegebenen Gleichungen so weit wie möglich auf. Dazu setzt du einfach die Sinuswerte gleich (also ohne arcsin), denn wenn die Winkel gleich sind, dann auch ihre Sinuswerte (hab ich vorhin auch schon gesagt, bitte genauer lesen!)

Die daraus resultierenden Gleichungen sind doch bestimmt nicht so schwer zu ermitteln!

$\begin{eqnarray*} 3a_1 - 4a_2 = 5a_2 \end{eqnarray*}$ (mit 5 auf gemeins. Nenner erweitern, mult.)

$\begin{eqnarray*} a_2 = a_3 \end{eqnarray*}$ (mit gemeins. N. mult.)

Danach kannst du entscheiden, welche Variable du als bekannt voraussetzen kannst.

Beim Tipp von werner wird die Länge des gesuchten Vektors gleich 1 gesetzt, damit liegt neben den zwei noch eine dritte Gleichung vor:

3.: $\begin{eqnarray*} a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1 \end{eqnarray*}$

mY+

02.12.2006, 20:19

Bujashaka

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Bekomme aus den drei Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} a_1=3*\sqrt{\frac {1}{11}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2=\sqrt{\frac {1}{11}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3=\sqrt{\frac {1}{11}} \end{eqnarray*}$

Und das kann ich ja nun in die Gleichungen einsetzen und bekomme, den Winkel heraus.

Der Winkel ist bei mir 17,55°.

02.12.2006, 21:15

mYthos

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Richtig.

Allerdings kann mit dem Wurzelfaktor, der bei allen drei Komponenten der gleiche ist, der Vektor noch abgekürzt werden, sodass der Richtungsvektor schließlich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lautet.

mY+

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