Berechnen einer unendlichen Fläche

20.03.2011, 13:09

mathe94

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Berechnen einer unendlichen Fläche

Hallo,

Man soll die Fläche der Funktion (2x+k)*e hoch -x/k im ersten quadranten berechnen.
die gränzen waren x=0 und b da es bis ins unendliche geht.

Vorschlag:

1. Produktiontegration
2.Einsetzen der Intervallgrenzen I(0/b)
3.aurechnen und zusammenfassen
4.dann setzt man für b einfach irgendeine hohe zahl und dann wird der term mit b zu null und es bleibt nur noch der für x= 0 übrig

20.03.2011, 13:15

Mulder

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RE: Berechnen einer unendlichen Fläche

Zitat:

Original von mathe94
1. Produktiontegration
2.Einsetzen der Intervallgrenzen I(0/b)
3.aurechnen und zusammenfassen
4.dann setzt man für b einfach irgendeine hohe zahl und dann wird der term mit b zu null und es bleibt nur noch der für x= 0 übrig

5. Die Punkte 1-4 in die Tat umsetzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oder scheitert es da irgendwo?

"Grenze" aber bitte mit e und nicht mit ä.

20.03.2011, 13:18

mathe94

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irgendwie beim ausrechnen und zusammenfassen

20.03.2011, 13:19

Mulder

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Zitat:

Original von mathe94
irgendwie beim ausrechnen und zusammenfassen

Und was genau hast du bis jetzt gerechnet? Ich weiß ja so von nix. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hast du denn schon eine Stammfunktion gefunden? Wie lautet sie?

20.03.2011, 13:24

mathe94

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komando zurück ich habe ein fehler gemacht.
hat aber nichts mit der aufgabenstellung zu tun.

wie integriere ich den e^((-x)/k)??

20.03.2011, 13:26

Mulder

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Zitat:

Original von mathe94
wie integriere ich den e^((-x)/k)??

Leite es vielleicht ein oder zwei Mal ab, dann wirst du sehen, dass da wegen der Kettenregel immer ein konstanter Vorfaktor dazu kommt (innere Ableitung). Das musst du quasi "umdrehen" beim Integrieren. smile

smile

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20.03.2011, 13:31

mathe94

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wenn ich e^((-x)/k) ableiten, dann kommt e^((-x)/k)*(-(1/k)) raus

20.03.2011, 13:32

Mulder

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Genau. Kannst du aus dieser Erkenntnis dann eine Stammfunktion bekommen? Mit was muss man das wieder multiplizieren, damit wieder die ursprüngliche Funktion rauskommt?

20.03.2011, 13:35

mathe94

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mit -k???

nein oder?

20.03.2011, 13:37

Mulder

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Doch, natürlich. Also lautet eine Stammfunktion wie?

20.03.2011, 13:39

mathe94

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-k*e^((-x)/k)

20.03.2011, 13:40

Mulder

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Jep. Eigentlich ganz einfach, oder?

Bedenke aber bitte, dass diese Methode nur funktioniert, wenn der Term im Exponenten der e-Funktion linear (also von der Form ax+b) ist, denn so ist die Ableitung eine Konstante.

So, nun weiter.

20.03.2011, 13:48

mathe94

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so nun steht da:

$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f(x) \, dx = (2*x+k)*((-k)*e^((-x/k) - \int_0^b \! 2*(-k)*e^((-x/k) \end{eqnarray*}$

muss ich jetzt nochmal produktintegration machen?

20.03.2011, 13:51

mathe94

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halt ich kann ja die 2 beim zweiten teil einfach rausziehen und integriere (-k)*e^((-x)/k)

20.03.2011, 13:55

Mulder

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Bis jetzt alles richtig. smile

smile

Latex-Tipp: Um im Exponenten mehr rein zu schreiben, setze alles in geschweifte Klammern:

e^{irgendwas}

20.03.2011, 14:01

mathe94

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ok ich werde deinen tipp beherzigen.

ich möchte nun (-k)* $\begin{eqnarray*} e^\frac{-x}{k} \end{eqnarray*}$ integrieren

20.03.2011, 14:04

Mulder

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Zitat:

Original von mathe94
ich möchte nun (-k)* $\begin{eqnarray*} e^\frac{-x}{k} \end{eqnarray*}$ integrieren

Du weißt doch jetzt, wie das geht. Dieses -k ist doch auch nur ein konstanter Vorfaktor und den kannst du genau wie die 2 einfach rausziehen.

20.03.2011, 14:05

mathe94

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stimmt du hast vollkommen recht ich hab den wald vor lauter bäumen nicht gesehen

20.03.2011, 14:09

mathe94

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ok gut

$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f(x) \, dx = (2*x+k)*((-k)*e^((-x/k) - 2\cdot x\cdot ((-k)\cdot e^\frac{-x}{k} \end{eqnarray*}$

und jetzt müsste ich ausmultiplizieren und ausrechnen oder?

20.03.2011, 14:11

Mulder

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Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen am Ende.

Und wo kommt da am Ende plötzlich die 2x her? Ist das x da ein Tippfehler?

20.03.2011, 14:13

mathe94

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das am ende soll ein k sein kein x

ja stimmt da muss plus hin

20.03.2011, 14:15

Mulder

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Partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} \int f g' = fg- \int f'g \end{eqnarray*}$

Da haben wir erstmal ein Minus stehen. Dann kommt ein weiteres Minus hinzu durch die -k, wenn du das g' zu g integrierst (das ist hier unsere e-Funktion). Und dann integrierst du ja nochmal, wodurch noch ein Minus hinzukommt (da kommt ja wieder der Faktor -k hinzu). Also insgesamt drei "Minusse". Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.03.2011, 14:18

mathe94

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ok ich weiß alles klar.

es steht jetzt da:

$\begin{eqnarray*} -2\cdot k\cdot x-k^{2}+2\cdot x\cdot e^\frac{-x}{k} +k\cdot e^\frac{-x}{k} +2\cdot k^{2} <br /> <br /> +2\cdot k\cdot e^\frac{-x}{k} \end{eqnarray*}$

20.03.2011, 14:19

Mulder

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Eigentlich genau das, was du da stehen hast. Schreibe für das falsche x eben nicht einfach nur k dahin, sondern nochmal (-k).

Und dann weiter rechnen.

20.03.2011, 14:26

mathe94

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ich habe es nochmal aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} -2\cdot k\cdot x-k^{2}+2\cdot x\cdot e^\frac{-x}{k} +k\cdot e^\frac{-x}{k} +2\cdot k^{2} <br /> <br /> +2\cdot k\cdot e^\frac{-x}{k} \end{eqnarray*}$

20.03.2011, 14:30

Mulder

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Da steig ich jetzt nicht mehr durch. verwirrt

verwirrt

Hast du falsch ausmultipliziert (was ich sowieso gar nicht machen würde).

Und was sollen die +2ke^(-x/k) in der zweiten Zeile sein?

20.03.2011, 14:36

mathe94

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das was in der zweiten zeile steht kommt noch hinten ran.

es stand doch noch eingeklammert da:

$\begin{eqnarray*} \left[(2\cdot x+k)\cdot (-k\cdot e^\frac{-x}{k})\right] +2\cdot k\cdot \int_0^b e^\frac{-x}{k} \end{eqnarray*}$

20.03.2011, 14:38

Mulder

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Edit: Mit deiner Korrektur stimmt es jetzt.

20.03.2011, 14:40

mathe94

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ok sehr schön

wenn ich dann alles ordentlich ausmultiplitiert habe, dann lässt sich ja nicht sehr viel zusammenfassen oder?

20.03.2011, 14:44

Mulder

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Wie gesagt: Ausmultiplizieren würde ich das gar nicht. Wenn wir das Integral nun noch lösen, erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} F(x) = (2x+k) \cdot (-k) \cdot e^{\frac{-x}{k}} +2k \cdot (-k) \cdot e^{\frac{-x}{k}} \end{eqnarray*}$

Ich würde den e-Term jetzt einfach komplett ausklammern:

$\begin{eqnarray*} F(x) = e^{\frac{-x}{k}} \cdot ( \, \, (2x+k) \cdot (-k) + 2k \cdot (-k) \, \, ) \end{eqnarray*}$

Jetzt vereinfachen in der Klammern.

20.03.2011, 14:49

mathe94

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ich habe jetzt vereinfacht dastehen:

$\begin{eqnarray*} F(x) = e^{\frac{-x}{k}} \cdot ( -2\cdot k\cdot x-3\cdot k^{2} ) \end{eqnarray*}$

20.03.2011, 14:51

Mulder

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Jetzt Grenzen einsetzen und fertig.

20.03.2011, 14:58

mathe94

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gut eingesetzt habe ich stehen:

$\begin{eqnarray*} (-3\cdot k^{2}) - ( e^{\frac{-x}{b}} \cdot ( -2\cdot k\cdot b-3\cdot k^{2} ) \end{eqnarray*}$

für k war der wert in der Aufgabenstellung für k>0 definiert. jetzt setze ich für ka eine positive zahl ein meinet wegen 3 und für b setzte ich eine hohe zahl ein 100 oder 1000 oder 10000. dann sehe ich das dieser Term gegen Null strebt

somit ist das Endergebnis: $\begin{eqnarray*} (-3\cdot k^{2}) \end{eqnarray*}$

20.03.2011, 15:00

Mulder

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Zitat:

Original von mathe94
somit ist das Endergebnis: $\begin{eqnarray*} (-3\cdot k^{2}) \end{eqnarray*}$

Macht ja keinen Sinn, dann wäre die Fläche ja negativ.

Du musst obere minus untere Grenze rechnen, du hast das anscheinend genau andersrum gemacht.

20.03.2011, 15:15

mathe94

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ja du hast absolut recht.
sowas kann ja mal passieren.^^

also es kommt 3k² raus
und das ist nicht die rechte Intervalgrenze so wie man das vllt denken könnte es ist ja nämlich der Flächeninhalt

20.03.2011, 15:23

Mulder

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3k² ist richtig. Wink

Wink

20.03.2011, 15:26

mathe94

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ja na cool dann möchte ich mich für deine Hilfe bedanken.

ich habe noch eine fragen aber zu etwas ganz anderem. die frage stelle ich aber besser nochmal neu im Forum

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