Logarithmisches Verhalten der "local time" eines Random walks?

20.03.2011, 13:43	Marko86	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmisches Verhalten der "local time" eines Random walks? Meine Frage: Hallo, Mathefreunde! Bei meinem Problem geht es um das Verhalten der sogenannten "local time" (Aufenthaltsdauer) einer bestimmten eindimensionalen Irrfahrt, mit der ich mich zur Zeit beschäftige. Wichtigste Voraussetzungen: Gegeben sei die Markowkette (Irrfahrt) $\begin{eqnarray} X_{0}=0, X_{1}, X_{2},... \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} P(X_{n+1}=R+1\|X_{n}=R)=1-P(X_{n+1}=R-1\|X_{n}=R)=: \alpha _{R} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \alpha _{0} = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \leq \alpha _{R} < 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} R\geq 1 \end{eqnarray}$ . In Worten: Die Irrfahrt hat den Zustandsraum $\begin{eqnarray} \mathbb N _{0} \end{eqnarray}$ , startet bei 0, wird bei 0 nach 1 reflektiert und kann stets nur die Nachbarzustände erreichen. Die Wahrscheinlichkeit, ausgehend von $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ den nächsthöheren Zustand zu erreichen, ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \leq \alpha _{R} < 1 \end{eqnarray}$ , weshalb sich die Irrfahrt tendenziell von 0 wegbewegt. Man setzt weiter voraus, dass $\begin{eqnarray} (X_{n})_{n} \end{eqnarray}$ transient ist. Sei $\begin{eqnarray} \gamma _{R}= \| \left\{n\geq 0:X_{n}=R\right\} \| \end{eqnarray}$ die Aufenthaltsdauer (local time) der Irrfahrt im Zustand $\begin{eqnarray} R\in \mathbb N _{0} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \gamma _{R} \end{eqnarray}$ ist für jedes $\begin{eqnarray} R\in \mathbb N _{0} \end{eqnarray}$ eine Zufallsvariable. Sei $\begin{eqnarray} U_{R} =\frac{1-\alpha _{R} }{\alpha _{R} } \end{eqnarray}$ das Verhältnis zwischen den Wahrscheinlichkeiten für "zurück" und "vorwärts" und $\begin{eqnarray} D_{R}=1+U_{R+1} +U_{R+1} \cdot U_{R+2} +U_{R+1} \cdot U_{R+2} \cdot U_{R+3}+ ... \end{eqnarray}$ . Es gilt wegen der Transienz $\begin{eqnarray} D_{R} <\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall R \end{eqnarray}$ . Hier nun die eigentliche Aussage: Gelte $\begin{eqnarray} \lim_{R \to \infty } \alpha _{R} =\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Dann gilt f.s. (fast sicher), dass $\begin{eqnarray} \gamma _{R} \leq 2(1+\beta )\cdot D_{R} \cdot log(R) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \beta > 0 \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ groß genug ist. Meine Ideen: Ich interpretiere die Aussage so, dass zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} P(\gamma _{R} \leq 2(1+\beta )\cdot D_{R} \cdot log(R), R\geq R_{0} )=1 \end{eqnarray}$ f.a. $\begin{eqnarray} \beta >0 \end{eqnarray}$ . Die ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} P\left(\frac{\gamma _{R} }{2\cdot D_{R}\cdot log(R) }-1 \leq \beta, R\geq R_{0}\right) =1 \end{eqnarray}$ f.a. $\begin{eqnarray} \beta >0 \end{eqnarray}$ oder auch mit $\begin{eqnarray} P\left(\liminf_{R \to \infty} \left\{\frac{\gamma _{R} }{2\cdot D_{R}\cdot log(R) }-1 \leq \beta \right\}\right) =1 \end{eqnarray}$ f.a. $\begin{eqnarray} \beta >0 \end{eqnarray}$ . Laut Bauer ("Wahrscheinlichkeitstheorie", S.34/35) bedeutet $\begin{eqnarray} P\left(\liminf_{R \to \infty} \left\{\|\frac{\gamma _{R} }{2\cdot D_{R}\cdot log(R) }-1\| \leq \beta \right\}\right) =1 \end{eqnarray}$ f.a. $\begin{eqnarray} \beta >0 \end{eqnarray}$ die f.s. Konvergenz von $\begin{eqnarray} \frac{\gamma _{R} }{2\cdot D_{R}\cdot log(R) } \end{eqnarray}$ gegen 1, also eine wegen der Betragsstriche etwas stärkere Aussage als die zu zeigende. Idee 1: Es genügt also, oben genannte f.s. Konvergenz zu zeigen. Allerdings weiß ich nicht, wie das gehen soll. Vor allem das Auftauchen des Logarithmus macht mir zu schaffen. Was ich noch weiß: $\begin{eqnarray} \gamma _{R} \end{eqnarray}$ ist geometrisch verteilt mit Parameter , das heißt: $\begin{eqnarray} P\left(\gamma _{R}=M\right) =\frac{\alpha _{R} }{D(R)} \cdot (1-\frac{\alpha _{R} }{D(R)})^{M-1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} M\geq 1, R\geq 0 \end{eqnarray}$ . Das bedeutet, dass der Erwartungwert von $\begin{eqnarray} \gamma_{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E\left(\gamma _{R} \right)=\frac{D_{R}}{\alpha _{R}} \end{eqnarray}$ beträgt. Sieht man sich die Voraussetzung $\begin{eqnarray} \lim_{R \to \infty } \alpha _{R} =\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ an, ist ein Zusammenhang zum Ausdruck $\begin{eqnarray} 2 D_{R} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \frac{1}{2 D_{R} } \end{eqnarray}$ erkennbar, aber wirklich weiter hat mich das bislang auch nicht gebracht. Weitere Idee: Unter gewissen Voraussetzungen konvergiert eine geometrische Verteilung gegen eine Exponentialverteilung. Könnte das in Zusammenhang mit dem Auftauchen des Logarithmus stehen? Ein weiteres Detail, das u.U. eine Rolle spielt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{ D_{R} } \end{eqnarray}$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Irrfahrt, wenn sie sich im Zustand $\begin{eqnarray} R+1 \end{eqnarray}$ befindet, gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ strebt, ohne den Zustand $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein einziges Mal zu erreichen. Für Lösungsvorschläge oder (auch nur kleine) Ansätze wäre ich sehr dankbar! Gruß Marko
21.03.2011, 19:33	Marko86	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmisches Verhalten der "local time" eines Random walks? Weitere Ergebnisse nach weiterem Grübeln: Sind folgende Interpretationen der zu beweisenden Aussage gleich? $\begin{eqnarray} P (\gamma_{R} \leq 2(1+\beta)D_{R}log(R), R \geq R_0)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall\beta>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P (\gamma_{R} \leq 2(1+\beta)D_{R}log(R))=1, R \geq R_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall\beta>0 \end{eqnarray}$ . Mir scheint es so. Wendet man die Markow-Ungleichung $\begin{eqnarray} P(\|X\|\geq a)\leq \frac{E(\|X\|)}{a} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a:=2(1+\beta)D_{R}log(R) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E(\gamma_{R})=\frac{D_{R}}{\alpha_{R}} \end{eqnarray}$ an, so ergibt sich $\begin{eqnarray} P(\gamma_{R}\geq 2(1+\beta)D_{R}log(R))\leq \frac{1}{\alpha_{R}2(1+\beta)log(R)} \end{eqnarray}$ , was gegen 0 konvergiert, wenn R-> $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} P(\gamma_{R}\leq 2(1+\beta)D_{R}log(R))\geq 1-\frac{1}{\alpha_{R}2(1+\beta)log(R)} \end{eqnarray}$ , was gegen 1 konvergiert, wenn R-> $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \lim_{R \to \infty} \alpha_R=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{R \to \infty} log(R)=\infty. \end{eqnarray}$ Richtig soweit? Was fehlt noch, um die Aussage zu zeigen? Fehlt überhaupt noch etwas? Ist das hier alles Unsinn? Für ein paar Kommentare wäre ich dankbar! Marko
31.03.2011, 03:29	Marko86	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat denn niemand eine Idee?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »