Flächenberechnung zweier logarithmusfunktion |
| 20.03.2011, 15:47 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Flächenberechnung zweier logarithmusfunktion Die Fläche liegt zwischen liegt zwischen 1 und e Es soll die Gerade herausgefunden werden,die parallel zur x-achse ist und durch diese fläche mit einer maximalen länge geht Ich bräuchte zur Lösung dieser Aufgabe hilfe. Vielen Dank im voraus. (sehr schönes Forum) |
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| 20.03.2011, 16:03 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Flächenberechnung zweier logarithmusfunktion Interessante Aufgabe. So, da soll nun eine Gerade durchgemalt werden. Nehmen wir uns doch mal so eine Gerade y=c. Was bedeutet das Problem mathematisch? Der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten der Geraden mit den beiden ln-Funktionen soll maximal werden. Bestimme doch erstmal die Schnittpunkte der Geraden y=c mit den beiden ln-Funktionen in Abhängigkeit von c. |
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| 20.03.2011, 16:26 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
der schnittpunkt mit f(x) ist e^c und mit g(x) ist liegt der Schnittpunkt bei meinst du das? es handelt sich vermutlich um eine Extremwertaufgabe |
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| 20.03.2011, 16:34 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es. Wie geht's weiter? Die Schnittpunkte stimmen. |
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| 20.03.2011, 16:37 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir brauchen zur Lösung der Extremwertaufgabe eine Hauptbedingung und eine Nebenbedinung bei denen man durch geschicktes umstellen, die eine in die andere einsetzen kann. Wenn man das gemacht hat, dann leitet man die erhaltene Funktion ab zwecks Extrema Ermittlung. |
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| 20.03.2011, 16:40 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist das allgemeine Vorgehen bei Extrema mit Nebenbedingungen, ja. Wie geht es denn bei unserer Aufgabe konkret weiter? |
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| 20.03.2011, 16:42 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich würde jetzt die differenzfunktion bilden oder? |
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| 20.03.2011, 16:43 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann mach mal. 
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| 20.03.2011, 16:53 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wäre dann: h(x)=f(x)-g(x) h(x)=(ln(x)² - ln(x) |
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| 20.03.2011, 17:01 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich würde als nächstes die erste ableitung bilden und diese null setzen |
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| 20.03.2011, 17:09 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das wäre doch der Abstand zwischen den Funktionswerten von f und g, also ein Abstand in vertikaler Richtung. Wir aber wollen doch einen Abstand in horizontaler Richtung maximieren. Die Schnittpunkte mit der Geraden y=c haben wir doch nicht aus purer Langeweile bestimmt. 
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| 20.03.2011, 17:12 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann weiß ich nicht weiter kannste mir ein tipp geben? müssten wir doch integrieren oder? |
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| 20.03.2011, 17:16 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Flächenberechnung zweier logarithmusfunktion Ich mal als Beispiel mal die Gerade y=0.5 mit rein: Die beiden Schnittstellen siehst du ja. Die sollen möglichst weit auseinander liegen, damit die Gerade in der Fläche möglichst lang ist (leuchtet doch ein, oder?). Wie groß ist der Abstand zwischen diesen beiden Schnittstellen? Den kannst du ganz konkret ausrechnen. Mit Integrieren hat das Ganze hier überhaupt nichts mehr zu tun. |
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| 20.03.2011, 17:25 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wäre dann. - e^c = e^c^(1/2) - e^c |
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| 20.03.2011, 17:26 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist der Abstand. Den wollen wir maximieren. Also? |
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| 20.03.2011, 17:30 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wir leiten ab oder? um das maximum auszurechnen |
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| 20.03.2011, 17:32 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. |
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| 20.03.2011, 17:41 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok die erste ableitung ist: |
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| 20.03.2011, 17:43 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weiter machen, du musst dir nicht jeden kleinen Minischritt erst bestätigen lassen.
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| 20.03.2011, 17:51 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja entschuldigung^^ aber wie soll das denn null werden, wenn ich das null setze |
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| 20.03.2011, 17:52 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Edit: Müll, sorry. |
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| 20.03.2011, 18:05 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja wenn ich das gemacht habe steht da: 0= aber wie soll das null werden? |
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| 20.03.2011, 18:07 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
macht ja nichts. wie komme ich jetzt zum Ergebnis? |
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| 20.03.2011, 18:31 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
warum antwortet mir keiner? |
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| 20.03.2011, 18:39 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nach c auflösen kann man das wohl gar nicht. Finde ich jetzt etwas eigenartig, dann müsste man das numerisch machen und das ist bei solchen Extremwertaufgaben eigentlich nicht so üblich. Die Angabe
stimmt sicher? Es geht da nicht um die y-Achse? Ich schaue sonst gerade, ob ich einen Denkfehler habe oder ob es anders geht. Aber eigentlich nicht... 
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| 20.03.2011, 18:40 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie wäre es denn wenn es um die y achse gehen würde |
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| 20.03.2011, 18:43 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann wäre der Abstand zwischen den Funktionswerten einfach zu maximieren, dann würde die Gerade eben parallel zur y-Achse (also senkrecht zur x-Achse) durch die Fläche verlaufen, den Ansatz hattest du sogar erst gemacht:
Und die Ableitung davon ließe sich viel einfacher nullsetzen. Aber nunja, wenn das nicht die Aufgabe ist, machen die Überlegungen dahingehend ja keinen Sinn. |
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| 20.03.2011, 18:51 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kann man das andere überhaupt so ohne weiteres Lösen? |
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| 20.03.2011, 18:53 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich wüsste im Moment nicht, wie. Wie gesagt: Nach c auflösen geht wohl nicht. Vielleicht meldet sich ja noch jemand anders zu Wort. |
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| 20.03.2011, 19:12 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich möchte das gerne lösen wenn wir das auf die y achse beziehen dann leite ich h(x) einfach ab und setze das null. was ist das dann was ich rausbekomme? |
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| 20.03.2011, 19:15 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der (lokal) maximale Abstand der Funktionswerte von f und g auf dem Intervall [1,e]. |
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| 20.03.2011, 19:20 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist das Ergebnis : ich hab h(x) abgeleitet und 1/x ausgeklammert: dann habe ich das was in der klammer steht null gesetzt und kam auf e^(1/2) |
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| 20.03.2011, 19:25 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das wäre die Lösung. |
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| 20.03.2011, 19:38 | mathe94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also bei x=e^(1/2) liegt die gerade die parallel zur y-Achse ist kann ich das als Antwort einfach drunter schreiben? |
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| 20.03.2011, 19:41 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
... und die mit maximaler Länge durch diese Fläche geht, ja. Musst du selbst wissen, was du da jetzt machst, scheinbar ist ja nach wie vor nicht klar, ob das nun die Aufgabe ist oder nicht. Es kann ja natürlich auch sein, dass ich nur einen Denkfehler habe und das andere doch irgendwie geht (hoffe und glaube ich aber nicht). |
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| 21.03.2011, 11:16 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nur so eine idee zur ursprünglichen aufgabe
mit der substitution bekommt man woraus folgt |
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