Extremwertaufgabe Zeitberechnung

20.03.2011, 15:57	Lamm	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Zeitberechnung Meine Frage: Ein Fischerboot bewegt sich mit 10 km/h in Richtung Norden zum Heimathafen. Um 8 Uhr ist die Entfernung vom Hafen 50km. Um 9 Uhr verlässt eine Fähre den Hafen etwa in Richtung Südwest mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h. Der Winkel des Kurses der Fähre zu jenem des Fischerbootes beträgt 41°. Wann ist die Entfernung zwischen Fähre und Fischerboot mi¬nimal ? Meine Ideen: Ich habe bereits versucht diese Aufgabe mit dem Cosinussatz zu berechnen. Leider kann ich nicht herausfinden wie man es anschreibt wenn ein Boot erst eine Stunde später losfährt. S1 von dem Bot das um 8 Uhr die Entfernung 50km beträgt müsste ja S1: 50+10t sein oder? Wie schreibt man S2 an?
20.03.2011, 17:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde mit einem Koordinatensystem und Vektorrechnung arbeiten. Den Hafen legen wir in den Ursprung. Die positive $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Richtung entspricht östlicher, die positive $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Richtung nördlicher Richtung. Die Zeit $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ messen wir in Stunden nach 9.00 Uhr, die Koordinatenangaben sind km-Angaben. Ohne Zeichung geht da zunächst gar nichts. Zur Zeit $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ befindet sich das Fischerboot beim Punkt $\begin{eqnarray} (0,-40) \end{eqnarray}$ , denn es ist ja inzwischen 10 km weit nach Norden gefahren. Es fährt in Richtung des Vektors $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dieser ist ein Einheitsvektor und daher noch mit $\begin{eqnarray} 10 \end{eqnarray}$ zu multiplizieren. Folglich ist $\begin{eqnarray} \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ -40 \end{pmatrix} + 10 \, t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ der Ortsvektor des Punktes $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ , an dem sich das Boot zur Zeit $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ befindet. Mache die Probe für verschiedene $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ -Werte, um dir das klar zu machen. Stelle jetzt entsprechend eine Gleichung für den Ortsvektor $\begin{eqnarray} \vec{f} \end{eqnarray}$ des Punktes $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ auf, an dem sich die Fähre zur Zeit $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ befindet. Überlege, in welchem Winkel die Fahrtrichtung der Fähre zur Westrichtung steht. Beschreibe die Fahrtrichtung zunächst durch einen Einheitsvektor. Dazu ein Tip: Der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist ein Einheitsvektor, der in üblicher Orientierung im Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ zur positiven $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Richtung steht. Der Abstand der beiden Fahrzeuge ist der Betrag des Vektors $\begin{eqnarray} \overrightarrow{BF} \end{eqnarray}$ .

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