Injektiv/Surjektiv/Bijektiv |
| 20.03.2011, 16:06 | Kapi4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Injektiv/Surjektiv/Bijektiv Hallo, ich schreibe am Freitag eine Mathe-Arbeit und da Mathe einfach nicht mein Fach ist fang ich heute schon an. Wir haben Definitionen zu injektiv,surjektiv und bijektiv aufgeschrieben: injektiv: Es gibt Zahlen, die nicht als y-Wert vorkommen surjektiv: Es gibt x-Werte die man nicht einsetzen darf bijektiv: Zu jedem x-Wert gibt es genau einen y-Wert und umgekehrt und dazu haben wir noch Funktionen gezeichnet. Aber das hilft mir alles nicht weiter. Wie erkenne ich denn das eine Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Klar, an der Definition kann ich das unterscheiden.. aber könnt ihr mir vielleicht mal ein Beispiel geben? Ich hoffe ihr könnt mir helfen Liebe Grüße Meine Ideen: leider überhaupt keine Idee 
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| 20.03.2011, 16:33 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Injektiv/Surjektiv/Bijektiv
Das habt ihr aufgeschrieben? Was ist das denn für ein Quark? 
Injektiv bedeutet: Jeder Funktionswert wird höchstens einmal angenommen. Surjektiv bedeutet: Jeder Funktionswert wird mindestens einmal angenommen. Beides zusammen ergibt dann bijektiv und bedeutet (da stimmt auch deine Angabe): Jeder Funktionswert wird genau einmal angenommen. Wichtig ist hierbei immer, dass Definitions- und Zielmenge mit angegeben werden. Beispiel für bijektiv: Beispiel für injektiv, aber nicht surjektiv: Beispiel für surjektiv, aber nicht injektiv: Beispiel für weder injektiv, noch surjektiv: Gute Übung, dir bei allen das "WARUM" zu überlegen und es zu zeigen. Wenn etwas nicht surjektiv oder injektiv ist, gibt man im Allgemeinen einfach ein simples Beispiel. |
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| 20.03.2011, 16:35 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eure Definitionen sind ziemlich problematisch.
Das ist nicht richtig. Beispielsweise sind bijektive Funktionen injektiv. Die richtige Definition ist, dass jeder Funktionswert höchstens ein Urbild hat.
Das verstehe ich nicht. Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jeder Wert in der Zielmenge ein Urbildelement unter der Funktion hat.
In dieser Definition ist eine Redundanz enthalten. Für jeden Wert in der Definitionsmenge gibt es immer genau einen Funktionswert in der Zielmenge. So sind Funktionen überhaupt definiert. Richtig ist, dass eine Bijektion genau dann vorliegt, wenn jedes Element in der Zielmenge genau einen Urbildwert unter der Abbildung hat. Anders ausgedrückt: eine Abbildung ist bijektiv genau dann, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Edit: Zu langsam. Mulder hat Dir ja auch noch schöne Bilder gemalt. 
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| 20.03.2011, 16:54 | Kapi4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ich verstehe das ja leider selbst alles nicht
Ich habe auch im Internet gesucht und da habe ich auch das mit dem Urbild gefunden aber davon habe ich noch nie etwas gehört. Und ich weiß auch ehrlich gesagt nicht, was ich damit anfangen soll. Trotzdem vielen lieben Dank für deine Antwort.
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| 20.03.2011, 17:07 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Injektiv/Surjektiv/Bijektiv Ich greife mal ein Beispiel heraus:
Die Funktion bildet von den reellen Zahlen (Definitionsbereich) in die positiven reellen Zahlen (Zielmenge) ab, so wie es da steht. Damit f surjektiv ist, muss es zu jedem y aus der Zielmenge mindestens ein passendes x geben, so dass y=f(x) ist. Hier ist das offensichtlich der Fall, denn wir haben ja nur die positiven reellen Zahlen in der Zielmenge liegen und wenn wir uns da irgendein y rausnehmen, gibt es auch auf jeden Fall ein passendes x, nämlich einfach Wurzel(y). Denn dann ist (da y größer gleich null ist): Also wird jede positive reelle Zahl von f auch mindestens einmal angenommen (sieht man ja auch im Bild). Hätte man als Zielmenge alle reellen Zahlen, also auch die negativen, dann wäre f nicht mehr surjektiv, weil y² nicht negativ werden kann. Für irgendein y<0 würde man also kein passendes x finden können. Nun zur Injektivität: Damit f injektiv ist, darf jeder Funktionswert nur höchstens einmal angenommen werden. Das ist hier offensichtlich nicht der Fall, denn zum Beispiel y=4 wird von zwei verschiedenen x angenommen, denn es ist Also nimmt f sowohl für x=2, als auch für x=-2 den Funktionswert 4 an. Ergo nicht injektiv. Versuch so nun die anderen Beispiele. |
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| 20.03.2011, 19:46 | Kapi4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke für Eure Hilfe, ich hoffe ich hab das auch noch am Freitag drauf 
Vielen Dank
Kapi4 |
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| 20.03.2011, 19:50 | Shalec | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hey hey, mir hatte damals geholfen ein paar Gedanken um die Mengendarstellung zu machen.. Wie sieht die Menge aller injektiven Abbildungen und die Menge aller surjektiven Abbildungen aus? Und btw. wenn du ne Abbildung "f: G -> H" hast, dann nennt man i.A. G das Urbild von f und H das Bild von f. Dazu kann man noch weitere Dinge erkennen/finden, wie z.B. den Kern der Abbildung (Sind alle Elemente aus G, die auf das neutrale ELement aus H abgebildet werden..) Dann gibts ja noch Namen wie "Lineare Abbildung".. Hast du davon schon was gehört? Oder sagt dir das auch nix? Ich häng dir mal meine Mitschrift an..soweit ich weiß ist sie zu Veröffentlichung da, ich werd nur eben den Namen des Profs rausschmeißen..^^ http://dl.dropbox.com/u/16689205/Analysis%20I.pdf Ausführliches Inhaltsverzeichnis, inklusive ein paar Fehlern..^^ hatte noch keine Zeit das mal zu korrigieren.. Mal zu nem Beweis diesbezüglich.. Wenn du dir die Mengendarstellung überlegt hast.. d.h. Menge={Was betrachte ich | Welche Eigenschaft erfüllt das, was ich betrachte} wie kannst du zeigen, dass diese Eigenschaft für die dir vorliegende Abbildung auch wirklich stimmt?
Ihr hattet garantiert zu Beginn des Semesters eine EInführung in Beweismethoden.. Deduktiver Beweis, Widerspruchsbeweis, Gegenbeispiel, Kontrapositionsbeweis,... Welcher würde sich Beispielsweise für die Injektivität eignen? Bei mir sind z.Z. Semesterferien und ich bereite mich auf die Algebra-Modulprüfung vor.. wenn du schnelle antworten brauchst.. schreib mir ne PM, kann dir dann meine Skype-Addy zur Verfügung stellen ;-) |
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| 20.03.2011, 19:53 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich nehme mal an, dass Kapi noch Schülerin ist, daher wirfst du ihr jetzt wahrscheinlich viele Begriffe um die Ohren, mit denen sie nichts anfangen kann.
Ich finde es allerdings auch erstaunlich, dass diese Begriffe in der Schule behandelt werden. Ich bin mir sehr sicher, dass ich das damals nicht hatte und ich hatte Mathematik ja nun auch im Leistungskurs. Aber gut, unzumutbar ist es für Schüler auch nicht, den Eindruck wollte ich nun auch nicht erwecken. Steckt ja eigentlich nicht viel dahinter. |
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| 20.03.2011, 20:00 | Shalec | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hm..könnte sein..oder nicht ausreichende Nachbereitung.. wie man sie immer im ersten Semester sieht 
Naja..hab mich wohl von "Hochschulmathematik" verleiten lassen das ganze weiter auszuführen ^^
Das würde mich auch sehr wundern... Ich hatte die Mathematik zwar nur im Grundkurs, aber ich hatte auch einsichten in den Lehrplan, wo sowas nicht vorkam. Naja..wohin das Turboabi führt..^^ Schwer ist dies nicht... Aber der Lehrer sollte dieses Thema dann auch entsprechend einführen. Es ist zwar Ana I oder LinA I Thema, aber wir machen da ja vieles, was auch Unterrichtgeeignet währe.. wenn nur die nötige Zeit im Rahmen der Schule vorgesehen sein würde :> Naja..Sie soll sich jetzt mal nicht abschrecken lassen.. ^^ |
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| 21.03.2011, 16:03 | Kapi4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, Wie Mulder gesagt hat bin ich noch Schülerin
in der 11. Klasse...leider haben wir eine Lehrerin die echt nichts erklärt... Ich hab heute nochmal in der Klasse nachgefragt ob wir injektiv usw lernen müssen und alle haben gemeint: nee! Aber den Ansatz habe ich mittlerweile Dank eurer Hilfe verstanden und kann gut vorbereitet am Freitag in das Chaos von x und y stürzen (: Injektiv, Surjektiv und Bijektiv haben zu der Einführungsphase zu den Grenzwerten, Abschnittweiße definierte Funktionen und die Stetigkeit gehört. Den Rest habe ich zum Glück verstanden 
Nur eine kleine Frage: Wenn ich den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert von gegen 0 berechnen will was setze ich dann ein?! linksseitig 0,0001 und rechtsseitig 1,111 ? Ich bin mir nicht so sicher und ich ein Mitschüler hat 0,999 gemeint. Wäre nett wenn ihr mir da helfen könntet (: Auf das Angebot von Shalec würde ich gern drauf zurückkommen (: wenn das in Ordnung wäre (: Weil so ein Mathegenie hab ich leider nicht in der Nähe
Vielen vielen lieben Dank Kapi |
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| 21.03.2011, 16:55 | Alive-and-well | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wenn du dazu nun den Recht-bzw Linksseitigen Grenzwert haben willst gehst du so vor: für den Linkssietigen Grenzwert nimmst du eine Zahl die zwar kleiner als 0 ist aber beliebig nahe an der Zahl 0 liegt. also eigentlich 0 ist aber halt doch ein fissel kleiner ist. FALLS man eine (reelle) zahl einsetzten will könnte dies zb: -0,1 sein. oder auch -0,000000000000001 . Bei der zweiten Zahl sieht man schon recht deutlich, das es eigentlich ja 0 ist aber doch halt etwas weniger. Für den rechtsseitigen Grenzwert sieht es so aus: Du gehst wieder beliebig nahe an die 0 heran aber halt von rechts aus. (Wenn du dir das nicht vorstellen kannst, hilft vielleicht das. Du geht mit dem Finger auf einem Zahlenstrahl von der +1 auf die 0 zu aber du bleibst halt ganz kurz davor stehen.) Hier wären 2 Beispiele die +0,1 oder die Zahl +0,0000000001 |
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| 21.03.2011, 17:00 | Kapi4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
achsooo also geht es praktisch um + und -
Links - und Rechts + |
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| 21.03.2011, 17:39 | Alive-and-well | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
genau darum geht es. um sich das besser vor Augen führen zu können kann man auch anstatt dies schreiben. Diese Schreibweise hilft zu verstehen was man gerade macht. Zum Verständnis: Man betrachtet quasi eine Zahl die fast 0 ist ( gegen 0 läuft) aber trozdem halt größer als 0 ist. |
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| 21.03.2011, 17:42 | Kapi4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
okay (: dann hab ich das alles verstanden (: Vielen vielen lieben Dank an alle (: |
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