Integral von -infinity bis infinity von exp(-x²)

20.03.2011, 18:32	Ravenlord	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral von -infinity bis infinity von exp(-x²) Hi... hänge an einer Aufgabe fest: Konvergiert folgendes Integral? $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x²} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die erste Idee, die ich hatte, war eine Substitution des Exponenten -x², hat aber zu nem Widerspruch geführt.. deswegen wollte ich mal fragen, ob man das so in der Art machen kann: Ohne Einschränkung betrachte $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} e^{-x²} \end{eqnarray}$ , da die Funktion $\begin{eqnarray} e^{-x²} \end{eqnarray}$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Es gilt folgendes: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} e^{-x²} \end{eqnarray}$ konvergiert $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n²} \end{eqnarray}$ konvergiert Ich betrachte also nun die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n²} \end{eqnarray}$ . Hier bietet sich meiner Meinung nach das Wurzelkriterium an: $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{\|e^{-n²}\|} =\sqrt[n]{e^{-n²}} = e^{-n} = \frac{1}{e^n} \leq M < 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \exists 0 < M < 1 \end{eqnarray}$ derart, sodass $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{\|e^{-n²}\|} \leq M < 1, \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n²} \end{eqnarray}$ konvergiert $\begin{eqnarray} \Rightarrow \int_{0}^{\infty} e^{-x²} \end{eqnarray}$ konvergiert Wegen der Achsensymmetrie gilt: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x²} = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-x²} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x²} \end{eqnarray}$ konvergiert. Kann man das so machen? Bin mir da noch extrem unsicher in meiner Argumentation.
21.03.2011, 12:46	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral von -infinity bis infinity von exp(-x²) Die Argumentation ist ok, es muß aber $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}~dx \end{eqnarray}$ heißen.
21.03.2011, 12:52	Ravenlord	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Dir. Ja, das dx vergesse ich gerne mal beim texen. g Werds mir merken.

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