Satz von Fritz John

20.03.2011, 20:43

tohuwabou

Satz von Fritz John

Hi,

der Satz von Fritz John lautet so :

Die Abbildungen $\begin{eqnarray*} f,g,h \end{eqnarray*}$ seien auf $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar. Ist $\begin{eqnarray*} x^{\sim} \in F \end{eqnarray*}$ lokales Minimum von PNU , dann gibt es Multiplikatoren $\begin{eqnarray*} \mu_0 \ge 0 , \lambda \in \mathbb R^m , \mu \in \mathbb R^p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (\mu_0,\lambda^T,\mu^T)^T \neq 0 \end{eqnarray*}$ , mit

$\begin{eqnarray*} \mu_0 \nabla f(x^\sim)+h'(x^\sim)^T \lambda + g'(x^\sim)^T \mu =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu_j \ge 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mu_{j} g_{j} (x^\sim) =0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} j=1,...,p \end{eqnarray*}$

PNU= Nichtlineares Optimierungsproblem mit Nichtlinearen Gleichungs- und Ungleichungsnebenbedingungen

Jetzt kommt im Anschluss ein Beispiel, wobei ich nicht ganz versteh, was es aussagen soll.

Bsp:

$\begin{eqnarray*} \min_{x \in \mathbb R^2} f(x_1,x_2)=x_1+{x_2}^2 \end{eqnarray*}$

NB.
$\begin{eqnarray*} h_1(x)=-{x_1}^2+x_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h_2(x)={x_1}^2+x_2=0 \end{eqnarray*}$

Der einzig zulässige Punkt und damit die eindeutig bestimmte Lösung ist $\begin{eqnarray*} x^\sim=(0,0)^T \end{eqnarray*}$ .
Wegen $\begin{eqnarray*} \nabla f(x^\sim)=(1,0)^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \nabla h_1=\nabla h_2=(0,1)^T \end{eqnarray*}$ kann es keinen Lagrange-Multiplikator zu $\begin{eqnarray*} x^\sim \end{eqnarray*}$ geben, d.h. die Multiplikatorenregel ist nur mit $\begin{eqnarray*} \lambda_0=0 \end{eqnarray*}$ erfüllbar.

Das $\begin{eqnarray*} \lambda_0 \end{eqnarray*}$ ist wohl ein Schreibfehler im Buch. Ich vermute es soll nur $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ heißen.

@Edit : Ok , oder mit $\begin{eqnarray*} \lambda_0 \end{eqnarray*}$ ist nur der spezielle Nullvektor gemeint vermutlich.

Was sagt mir das Beispiel jetzt? Ich seh nicht so den Zusammenhang zum Satz von Fritz John.
Im Bsp steht $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ ist die eindeutige Lösung, da der einzige Punkt der zulässig ist, aber die notwendige Bedingung von Fritz John ist nicht erfüllt, da $\begin{eqnarray*} (\mu_0,\lambda^T,\mu^T)=0 \end{eqnarray*}$ !? verwirrt

20.03.2011, 21:25

tigerbine

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RE: Satz von Fritz John
$\begin{eqnarray*} \min_{x \in \mathbb R^2} f(x_1,x_2)=x_1+{x_2}^2 \end{eqnarray*}$

NB:

$\begin{eqnarray*} h_1(x)=-{x_1}^2+x_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h_2(x)={x_1}^2+x_2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x)=\begin{pmatrix} 1 \\ 2x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \nabla h_1(x)=\begin{pmatrix} -2x_1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \nabla h_2(x)=\begin{pmatrix} 2x_1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun muss ein FJ-Punkt zulässig sein, und es muss gelten:

$\begin{eqnarray*} \mu_0 \begin{pmatrix} 1 \\ 2x_2 \end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix} -2x_1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 2x_1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der einzige zulässige Punkt ist x=(0,0). Der ist auch lokales/globales Minimum:

$\begin{eqnarray*} \mu_0 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, es muss also gelten $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = - \lambda_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_0=0 \end{eqnarray*}$ . Was folgt daraus:

1. FJ ist erfüllt. Denn aus $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = - \lambda_2 \end{eqnarray*}$ folgt ja nicht $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_2 =0 \end{eqnarray*}$

2. Dieser FJ-Punkt ist kein KKT-Punkt, da man $\begin{eqnarray*} \mu_0=0 \end{eqnarray*}$ wählen muss. Dei Zielfunktion hat hier im Grunde keinen Einfluss auf den Lösungspunkt. Beispiel ist schon sehr brutal, wo die Menge ja nur aus einem Punkt besteht. Gibt aber auch andere.

20.03.2011, 22:53

tohuwabou

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RE: Satz von Fritz John
Hi tigerbine,

deine Antwort kann ich gut nachvollziehen, aber

wieso steht denn im Buch "Multiplikatorregel ist nur mit $\begin{eqnarray*} \lambda_0=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt, wenn doch nur gelten muss $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = - \lambda_2 \end{eqnarray*}$ ?

@Edit : Multiplikatorregel verwirrt

Sind damit überhaupt die Bedingungen von Fritz John gemeint?

20.03.2011, 23:22

tigerbine

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RE: Satz von Fritz John
Hey,

also am besten suchst du mal einen google-books Link damit ich das im "ganzen" Selbst nachlesen kann. Wir haben als Nebenbedingungen "=" und nicht "<". Die Multiplikatoren dort sind nicht Vorzeichen beschränkt.

20.03.2011, 23:33

tohuwabou

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RE: Satz von Fritz John
Hier ist der Link, allerdings ist die Seite 280 nicht Teil der Buchvorschau unglücklich

. Genau die , wo es steht. Das Beispiel steht aber wieder da auf S 281.

Aber ich krieg das sonst schon auch noch irgendwie anders raus smile

Vielen Dank mal wieder smile

gn8

20.03.2011, 23:50

tigerbine

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RE: Satz von Fritz John
Also so kann ich nicht sehen, was der mit Multiplikatorenregel meint. Das müßtest du aber nachschlagen können.

Lies man S.281 den Text über dem Beispiel. Es geht darum, dass in dem Beispiel die MFCQ nicht gilt ("Gradienten der NB sind hier ja nicht lu"), das war aber notwendig. Und da steht dann auch weiter, dass man deswegen den Multiplikator vor dem Gradienten der Zielfunktion 0 stezen muss. D.h. die Zielfunktion hat keinen Einfluss. Sehr doof, oder? Die will man ja gerade Minimieren.

Daher ist die Suche nach FJ-Punkten eher"suboptimal". Das mit $\begin{eqnarray*} \lambda_0 \end{eqnarray*}$ muss ein Tippfehler sein.

21.03.2011, 12:06

tohuwabou

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RE: Satz von Fritz John
Das mit dem $\begin{eqnarray*} \lambda_0 \end{eqnarray*}$ hat mich verwirrt. Ich vermute mal das soll

$\begin{eqnarray*} \mu_0 =0 \end{eqnarray*}$ heißen. Das passt dann auch mit dem Text über dem Beispiel zusammen und so macht das Beispiel dann auch Sinn .

Wäre nicht der einzige Schreibfehler in dem Buch . Augenzwinkern

Gruß

21.03.2011, 12:17

tigerbine

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RE: Satz von Fritz John

Zitat:

Original von tohuwabou
Das mit dem $\begin{eqnarray*} \lambda_0 \end{eqnarray*}$ hat mich verwirrt. Ich vermute mal das soll

$\begin{eqnarray*} \mu_0 =0 \end{eqnarray*}$ heißen.

so sehe ich das auch. Wink

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