algebraischen Term vereinfachen

20.03.2011, 21:42

ermeglio

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algebraischen Term vereinfachen

Meine Frage:
Hallöle,

wieder so ne Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{x\sqrt{y} -y\sqrt{x} }{x\sqrt{y} +y\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

ich glaube gut angefangen zu haben, aber dann habe ich mich irgendwo verloren...

danke im Voraus!
ermeglio

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \frac{x\sqrt{y} -y\sqrt{x} }{x\sqrt{y} +y\sqrt{x} }=<br /> \frac{(x\sqrt{y} -y\sqrt{x}) (x\sqrt{y} -y\sqrt{x} ) }{(x\sqrt{y} +y\sqrt{x}) (x\sqrt{y} -y\sqrt{x} ) } =<br /> \frac{ - 2xy\sqrt{x}\sqrt{y} }{x^{2}y-x^{2}y} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

20.03.2011, 21:48

sulo

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RE: algebraischen Term vereinfachen
Überlege noch einmal, was bei dem Ausmultiplizieren dieses Ausdrucks rauskommt:

$\begin{eqnarray*} (x\sqrt{y} +y\sqrt{x})(x\sqrt{y} -y\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$

smile

smile

20.03.2011, 22:06

ermeglio

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RE: algebraischen Term vereinfachen
schon mal danke...

$\begin{eqnarray*} \frac{x\sqrt{y} -y\sqrt{x} }{x\sqrt{y} +y\sqrt{x} }=<br /><br /> \frac{(x\sqrt{y} -y\sqrt{x}) (x\sqrt{y} -y\sqrt{x} ) }{(x\sqrt{y} +y\sqrt{x}) (x\sqrt{y} -y\sqrt{x} ) } = <br /> \frac{ - 2xy\sqrt{x}\sqrt{y} }{x^{2}y-y^{2}x} =<br /> <br /> \frac{ - 2xy\sqrt{x}\sqrt{y} }{xy(x-y)} <br /> \end{eqnarray*}$

aber , wie weiter?

20.03.2011, 22:09

sulo

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RE: algebraischen Term vereinfachen
Entsprechendes gilt auch für den Zähler. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (x\sqrt{y} -y\sqrt{x})(x\sqrt{y}-y\sqrt{x})\neq - 2xy\sqrt{x}\sqrt{y} \end{eqnarray*}$

smile

smile

20.03.2011, 22:38

ermeglio

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RE: algebraischen Term vereinfachen
wieso nicht?

20.03.2011, 22:49

sulo

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RE: algebraischen Term vereinfachen
Weil: $\begin{eqnarray*} (-y\sqrt{x})(-y\sqrt{x})\neq -x^2\sqrt{y} \end{eqnarray*}$ smile

smile

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20.03.2011, 22:58

ermeglio

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RE: algebraischen Term vereinfachen
ok,

$\begin{eqnarray*} \frac{x\sqrt{y} -y\sqrt{x} }{x\sqrt{y} +y\sqrt{x} }=<br /> \frac{(x\sqrt{y} -y\sqrt{x}) (x\sqrt{y} -y\sqrt{x} ) }{(x\sqrt{y} +y\sqrt{x}) (x\sqrt{y} -y\sqrt{x} ) } = <br /> \frac{ - 2xy\sqrt{x}\sqrt{y} }{x^{2}y-y^{2}x} = <br /> <br /> \frac{x^2 - 2xy\sqrt{x}\sqrt{y} -y^2}{xy(x-y)} <br /> \end{eqnarray*}$

so?

20.03.2011, 23:04

sulo

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RE: algebraischen Term vereinfachen
$\begin{eqnarray*} \frac{x\sqrt{y} -y\sqrt{x} }{x\sqrt{y} +y\sqrt{x} }=<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{(x\sqrt{y} -y\sqrt{x}) (x\sqrt{y} -y\sqrt{x} ) }{(x\sqrt{y} +y\sqrt{x}) (x\sqrt{y} -y\sqrt{x} ) } =<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{x^2y - 2xy\sqrt{xy} +xy^2 }{x^{2}y-xy^{2}} =<br /> \end{eqnarray*}$

So, da habe ich mal ein bisschen verbessert. Jetzt geht es ans Ausklammern und dann ans Kürzen.

smile

smile

20.03.2011, 23:12

ermeglio

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RE: algebraischen Term vereinfachen
sollte es nicht ein - im Nenner sein (statt ein +) ?

20.03.2011, 23:19

sulo

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RE: algebraischen Term vereinfachen
Hab ich längst verbessert, das habe in im Latex übersehen.

Ich muss jetzt leider off gehen. Das Ausklammern im Nenner hattest du ja schon ganz richtig gemacht. Im Zähler kannst du ebenfalls ausklammern und dann kürzen.

Wink

Wink

20.03.2011, 23:26

ermeglio

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RE: algebraischen Term vereinfachen
schade das du gehen musst... erhalte immer xy(x-y) über xy(x-y) also 1

weiss aber dass dies falsch ist...

egal, vielen, vielen Dank!

gruss Gott

Gott

20.03.2011, 23:34

sulo

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RE: algebraischen Term vereinfachen
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2y - 2xy\sqrt{xy} +xy^2 }{x^{2}y-xy^{2}} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(xy)(x - 2\sqrt{xy} +y) }{(xy)(x-y)} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.03.2011, 23:44

ermeglio

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RE: algebraischen Term vereinfachen
eben....

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{x^2y - 2xy\sqrt{xy} +xy^2 }{x^{2}y-xy^{2}} = \frac{xy(x-2\sqrt{xy}+y)}{xy(x-y)} = \frac{xy(x-y)}{xy(x-y)} = 1 \end{eqnarray*}$

habe das binomische Gesezt angwendet...
trotzdem scheint dies falsch zu sein :-(

20.03.2011, 23:50

sulo

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RE: algebraischen Term vereinfachen
$\begin{eqnarray*} \frac{(xy)(x - 2\sqrt{xy} +y) }{(xy)(x-y)} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x - 2\sqrt{xy} +y }{x-y} \end{eqnarray*}$

smile

smile

edit: Jetzt muss ich wirklich off. Bis denn. Wink

Wink

21.03.2011, 00:08

ermeglio

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RE: algebraischen Term vereinfachen
ok, vielen vielen Dank!

gruss

PS: komischer Weise ist das Resultat im Buch dieser
$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x - y}^{2} \end{eqnarray*}$

keine Ahnung wie die dazu kommen... trotzdem, danke!

21.03.2011, 00:28

mYthos

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Nun, dann quadriere doch im letzten Resultat den Zähler und vergleiche!

mY+

21.03.2011, 02:05

ermeglio

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RE: algebraischen Term vereinfachen
ja,ja... habe es dann auch gesehen... aber eben, erst nachdem ich den Text gepostet hatte... bin leider nicht der hellste :-)

Danke Jungs!
gruss!
gute Nacht
ermeglio

21.03.2011, 08:37

sulo

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RE: algebraischen Term vereinfachen
Das ist alles reine Übungssache. Nach einer Weile weiß man, wie der Hase läuft. smile

smile

PS: Ich bin kein Junge. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

21.03.2011, 11:09

René Gruber

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Man hätte sich schon einiges ersparen können, wenn man gleich zu Anfang $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}\sqrt{y} \end{eqnarray*}$ in Zähler und auch Nenner ausgeklammert und anschließend weggekürzt hätte. Aber das fällt wohl auch unter die von sulo erwähnte Übungs- bzw. Erfahrungsssache. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.03.2011, 12:44

sulo

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@René Gruber
Eine Frage der Erfahrung ist auch die Entscheidung, den vom Fragesteller eingeschlagenen Weg mitzugehen und ihm dort bei Problemen zu helfen, anstatt ihn durch die Erklärung zu verwirren, dass es einen etwas kürzeren Weg gibt.
Ich richte mich gerne nach den Wegen, die die Fragesteller einschlagen, denn dies sind in der Regel die Weg, die sie lernen und üben sollen. Bedenke: Wir befinden uns in der Schulmathematik, genauer in der Mittelstufe.
Wenn also mit Hinblick auf die binomischen Formeln erweitert wurde, dann weiß ich, dass dies die geübte Methode ist und werde nicht sagen, dass es andere Möglichkeiten zur Lösung gibt und den Fragesteller verwirren.

Es geht in der Schulmathematik nicht darum, sich als Helfer mit der optimalsten Methode zu profilieren. Maßstab für die Hilfe muss immer das Wohl des Fragestellers sein, nicht der Gedanke, wie man sein Wissen präsentieren kann.
Und das ist weniger eine Erfahrungs- als eine Einstellungssache. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.03.2011, 16:54

René Gruber

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Schöner Vortrag - aber soweit ich mich erinnere, ist es doch im MB statthaft, Alternativvorschläge zu unterbreiten, wenn der "Hauptweg" durchgesprochen wurde - und das ist doch hier der Fall, oder etwa nicht? verwirrt

verwirrt

P.S.: "Optimalst" gibt es nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.03.2011, 17:08

tigerbine

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Hallo,

Zitat:

aber soweit ich mich erinnere, ist es doch im MB statthaft, Alternativvorschläge zu unterbreiten, wenn der "Hauptweg" durchgesprochen wurde

ja, das ist erlaubt. Ob allerdings

Zitat:

Man hätte sich schon einiges ersparen können, ...

eine geeignete Einleitung ist, stelle ich mal als Frage in den Raum. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nachdem sulo sich zu später Stunde doch noch entschlossen hatte, on zu bleiben um mit den user ein Resultat zu erzielen, würde ich sagen: eher nicht. Es hat den Anklang eines Vorwurfs und das abschließende

Zitat:

Aber das fällt wohl auch unter die von sulo erwähnte Übungs- bzw. Erfahrungsssache. Augenzwinkern

Augenzwinkern

wird von diesem "Vorwurf" überschattet. Ich gehe ja davon aus, dass du dem user eine Alternative schildern wolltest und nicht sulo auf den virtuellen Schlips treten wolltest. smile

smile

21.03.2011, 17:11

René Gruber

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Das "ersparen" bezog sich auf den Threadersteller. Dass sulo sich auf den Schlips getreten fühlt, war mir nicht bewusst. In dem Lichte betrachtet ist ihr obiger vollkommen unnötiger Vortrag ein wenig nachvollziehbar.

21.03.2011, 17:36

tigerbine

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Freut mich, wenn ich vermitteln konnte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Alternative Wege sind willkommen. Man könnte sie z.B. mit "Für zukünftige Aufgaben könntest du mal .... versuchen" einleiten. Mehr Ausblick statt Rückblick smile

smile

22.03.2011, 20:19

sulo

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Zitat:

Original von René Gruber
Das "ersparen" bezog sich auf den Threadersteller. Dass sulo sich auf den Schlips getreten fühlt, war mir nicht bewusst.

@René
In diesem Falle möchte ich in aller Form bei dir um Entschuldigung für meine Reaktion auf deinen alternativen Lösungsvorschlag bitten. Offenbar habe ich deine Intention doch sehr missverstanden.
Selbstverständlich ist es im Board erlaubt und auch gerne gesehen, alternative Lösungswege aufzuzeigen. Und im vorliegenden Fall wäre es schade gewesen, wenn du uns deinen Lösungsweg vorenthalten hättest.

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