Wert von Reihe bestimmen

20.03.2011, 22:47	Ginmaniac	Auf diesen Beitrag antworten »
Wert von Reihe bestimmen Guten Abend, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: Bestimmen Sie den Wert der folgenden Reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty {\frac{k+1}{2^k} } \end{eqnarray}$ Ich kann die Summe ja auf zwei Brüche aufteilen, dass sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty {\frac{k}{2^k}+(\frac{1}{2})^k } \end{eqnarray}$ Den hinteren Teil kann ich mithilfe der Formel für die geometrische Reihe bestimmen, der ist 2. Meine Frage ist, wie ich den Wert für $\begin{eqnarray} \frac{k}{2^k} \end{eqnarray}$ ausrechnen kann, konvergenz habe ich schon mithilfe des QK nachgewiesen. Vielen Dank.
20.03.2011, 23:51	Manni Feinbein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wert von Reihe bestimmen Das geht z.B. über gliedweises Differenzieren/Integrieren. Oder noch elementarer (und m.E. eleganter) mit dem Cauchyprodukt: $\begin{eqnarray} \text{Sei }\|x\|<1. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Dann ist } \frac 1{(1-x)^2}=\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)^2=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^nx^n=\ldots \end{eqnarray}$
21.03.2011, 08:54	Ginmaniac	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wert von Reihe bestimmen Okay, vielen Dank, Cauchyprodukt machen wir erst die Woche. Ich schau mir mal die Vorlesungen an und versuchs mir selber beizubringen und wenn ichs nicht peil, nerv ich euch nochmal. Danke.

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