Verkettung von Endomorphismen

21.03.2011, 11:27

steviehawk

Verkettung von Endomorphismen

Meine Frage:
hallo,

sei f: V -> V eine lin. Abbildung, ich soll nun zeigen, dass f o f = 0 genau dann der Fall ist, wenn ker(f) Teilmenge von im(f) ist.

Kann mir jemand helfen?

Meine Ideen:
mhh, also ich weiß, dass wenn v im ker(f) ist, ist f(v) = 0, ist v im im(f) ist f(v) = w, wobei w auch in V liegt.

"->"
ist f o f = f(f(v)) = 0 oder heisst es, dass f o f die Nullabbildung ist, also jedem v in V die Null zuteilt?

Danke für die Tipps

21.03.2011, 12:15

Hamsterchen

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Also ich bin jetzt net allzu gut in LA, aber bist du sicher dass da steht $\begin{eqnarray*} Kern(f) \subset Im(f) \end{eqnarray*}$ und nicht andersrum?

21.03.2011, 12:26

zweiundvierzig

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Ja, Hamsterchen, Du hast recht.

Zu Steviewhawk: Ja, $\begin{eqnarray*} f \circ f = 0 \end{eqnarray*}$ bedeutet gerade $\begin{eqnarray*} f(f(v)) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ .

Edit:

Zitat:

Original von steviehawk
ist v im im(f) ist f(v) = w, wobei w auch in V liegt.

Ich bin mir nicht sicher, was Du hier meinst. Allgemein gilt $\begin{eqnarray*} v \in \mathrm{im}f \subset V \end{eqnarray*}$ , wenn es ein $\begin{eqnarray*} w \in V \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} v = f(w) \end{eqnarray*}$ .

In unserem Fall gilt speziell für $\begin{eqnarray*} v \in \mathrm{im}f \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} f(v) = 0 \end{eqnarray*}$ .

21.03.2011, 12:38

Hamsterchen

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ok gut ^^ sonst müsste (f o f)=0 ja theoretisch für alle injektiven linearen abbildungen gelten oder?

naja ok dann zur aufgabe:

"=>"
Du nimmst dir ein Element aus $\begin{eqnarray*} Im(f) \end{eqnarray*}$ , nennen wir es mal $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ .
Dann weißt du, dass es ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(v)=w \end{eqnarray*}$ .
Du weißt aber auch, dass $\begin{eqnarray*} f(f(v))=0 \end{eqnarray*}$ gilt. Was kannst du daraus dann folgern?

"<="
Du hast ja, dass $\begin{eqnarray*} Im(f)\subset Ker(f) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \forall v\in Im(f): v\in Ker(f) \end{eqnarray*}$ .
Dann schreibst du mal hin: $\begin{eqnarray*} f(f(v)) \end{eqnarray*}$ und betrachtest dir das "innere" $\begin{eqnarray*} f(v) \end{eqnarray*}$ . Das liegt ja natürlich im Bild. Wo liegt es dann nach Vorraussetzung noch? Und was heißt das dann für $\begin{eqnarray*} f(f(v)) \end{eqnarray*}$ ?

PS: Hoffe, das stimmt so was ich hier schreibe ^^

21.03.2011, 12:53

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Hamsterchen
ok gut ^^ sonst müsste (f o f)=0 ja theoretisch für alle injektiven linearen abbildungen gelten oder?

Ja, das wäre denn absurderweise eine Folgerung.

Deine Hinweise sind auch korrekt. Wink

21.03.2011, 14:39

steviehawk

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tut mir leid, aber auf dem Blatt steht leider wirklich, ker(f) ist Teilmenge von im(f)

trotzdem danke...

21.03.2011, 14:44

steviehawk

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wenn das Bild im Kern liegt, ist die Aufgabe klar, vielleicht hat sich der Prof. auch verschrieben, ist ja auch nur ein Mensch

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