notwenidige Extremwertbedingung und stationärer Punkt

21.03.2011, 11:56

smcks

notwenidige Extremwertbedingung und stationärer Punkt

Meine Frage:
Ich suche zu folgender Funktion die notwendige Extremwertbedingung und den stationären Punkt. Leider fehlt mir völlig der Ansatz unglücklich

K(x,y) = 5*ln(x^2) + (100/(x*y)) + y

Wäre über jede Hilfe (wenn möglich mit rechenweg zum was dazulernen) sehr dankbar!

Meine Ideen:
leider keine, verlaufe mich immer ins nichts ...

21.03.2011, 12:37

Cel

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Beachte bitte, dass hier keine Komplettlösungen gepostet werden.

$\begin{eqnarray*} K(x,y) = 5 \cdot \ln(x^2) + 100 \cdot (xy)^{-1} + y \end{eqnarray*}$

Vereinfache das zunächst mal mit $\begin{eqnarray*} \ln(x^2) = 2 \cdot \ln(x) \end{eqnarray*}$ .

So, was brauchen wir für Extremwerte? Einen Gradienten, der Null ist. Bestimme also zunächst die partiellen Ableitungen nach x und y.

21.03.2011, 12:51

plonk

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Also die partiellen Ableitungen wären dann

$\begin{eqnarray*} K_{x} = \frac{10}{x} - \frac{100}{x^{2} y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K_{y} = -\frac{100}{y^{2} x} + 1 \end{eqnarray*}$

Ermittle ich dann den stationären Punkt durch umformen der einen Gleichung nach bspw. x und dann einsetzen in die andere Gleichung, welche ich =0 setze oder wäre das zu einfach?
Und auf die Bedingungen komme ich auch nicht.

21.03.2011, 13:05

Cel

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Wieso trittst du unter zwei Namen auf? Einer reicht, welchen möchtest du behalten? Ich werde die Löschung des anderen in die Wege leiten.

Deine partiellen Ableitungen stimmten nicht, beim Ableiten von $\begin{eqnarray*} (xy)^{-1} \end{eqnarray*}$ fehlt jeweils die innere Ableitung.

Danach musst du die partiellen Ableitungen jeweils gleich Null setzen und herausfinden, was x und y sein müssen. Hier einfach, da die Gleichungen isoliert sind.

Es gilt: $\begin{eqnarray*} \mathrm{grad} (K) = (K_x, K_y) \end{eqnarray*}$

Für Extrema muss gelten: $\begin{eqnarray*} \mathrm{grad} (K) = (0,0) \end{eqnarray*}$ , hattet ihr das denn nicht? verwirrt

21.03.2011, 13:27

plonk

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Oh Verzeihung, bei dem ersten Post hatte ich vergessen mich anzumelden und den falschen Namen angegeben, plonk stimmt.

Hmm sehe den Fehler meiner Ableitungen nicht.
Ich meine $\begin{eqnarray*} \frac{100}{xy} \end{eqnarray*}$ ist doch das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \frac{100}{y} * \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und nach x abgeleitet wird y doch wie ein Parameter gehandelt also passiert mit dem Vorfaktor nichts und es ergibt sich $\begin{eqnarray*} -\frac{100}{yx^{2} } \end{eqnarray*}$ . Weiß nicht wo da die innere Ableitung sein soll.

21.03.2011, 13:38

tigerbine

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Zitat:

Original von plonk
Oh Verzeihung, bei dem ersten Post hatte ich vergessen mich anzumelden und den falschen Namen angegeben, plonk stimmt.

Bitte deine pns checken. Danke.

21.03.2011, 14:37

Cel

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@plonk: Du hast natürlich Recht, man kann dort eine innere Ableitung sehen (allerdings ohne vorherige Vereinfachung), aber die kürzt sich weg:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}((xy)^{-1}) = -(xy)^{-2} \cdot y = -\frac{1}{x^2y} \end{eqnarray*}$ .

Also vollkommen richtig. Freude

Beachte dann meine zweite Bemerkung, natürlich sind die Gleichungen jetzt doch nicht isoliert.

21.03.2011, 20:45

plonk

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okay, dann lautet der stationäre Punkt also x=1 und y=10.
Was wären aber in dieser Aufgabe die Extremwertbedingungen?

21.03.2011, 21:09

Cel

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$\begin{eqnarray*} \mathrm{grad}(K) = (0,0) \end{eqnarray*}$ ist die Extremwertbedingung. Ähnlich dem $\begin{eqnarray*} f'(x) =0 \end{eqnarray*}$ im Eindimensionalen.

21.03.2011, 21:19

plonk

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Okay, auf einfachste nicht gekommen.
Vielen Dank Freude

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