Lineare Differentialgleichungssysteme & Fourier-Reihen

21.03.2011, 11:05

Shepherd

Lineare Differentialgleichungssysteme & Fourier-Reihen

Hallo zusammen,

als Vorbereitung für die anstehende Klausur haben wir folgende Aufgaben bekommen.

Lineare Differentialgleichungssysteme

Zitat:

Lösen Sie die lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

$\begin{eqnarray*} y'' - 5 * y' + 6 * y = 0 \end{eqnarray*}$ ,

indem Sie die DGL als LDGS 1. Ordnung schreiben.

Zum Vergleich haben wir auch gleich die Lösung bekommen (siehe Anhang, Seite 4).

Meine Frage bezieht sich auf den Schlusssatz des Lösungsvorschlags:

Müsste das Fundamentalsystem nicht so aussehen?

$\begin{eqnarray*} c_1 * \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} * e^{3t} + c_2 * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} * e^{2t} \end{eqnarray*}$

Fourier-Reihen

Zitat:

Skizzieren Sie die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x * (2 * \pi - x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 2\pi \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie die Fourier-Reihe von f.

Die Funktion soll achsensymmetrisch sein. Dabei fällt ja $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ weg. Wenn f achsensymmetrisch ist muss ja $\begin{eqnarray*} f(x) = f(-x) \end{eqnarray*}$ erfüllt sein. Nur wie kann ich das überprüfen, wenn x nicht negativ werden kann, da $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 2\pi \end{eqnarray*}$ ?

Gruß Shepherd

21.03.2011, 11:16

Cel

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RE: Lineare Differentialgleichungssysteme & Fourier-Reihen
Hallo,

Zitat:

Original von Shepherd
Müsste das Fundamentalsystem nicht so aussehen?

$\begin{eqnarray*} c_1 * \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} * e^{3t} + c_2 * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} * e^{2t} \end{eqnarray*}$

das wäre die allgemeine Lösung des linearen Systems. Das Fundamentalsystem ist eine Menge, die die einzelnen Lösungen enthält, insbesondere ist es also keine Linearkombination der Lösungen. Fundamentalsystem ist also hier

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot e^{3t}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot e^{2t} \right\} \end{eqnarray*}$

Zu der Fourier-Reihe: Man bestimmt diese nur für periodische Funktionen. Bei deiner Aufgabenstellung müsste also stehen, dass f 2Pi-periodisch erweitert wird. Dann erkennst du auch die Achsensymmetrie.

Ich hoffe, das hilft schon ein bisschen.

21.03.2011, 12:53

Shepherd

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Hallo Cel,

Danke für deine Antwort.

Lineare Differentialgleichungssysteme

allgemeine Lösung LDGS:

$\begin{eqnarray*} c_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot e^{3t} + c_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot e^{2t} \end{eqnarray*}$

allgemeine Lösung DGL:

$\begin{eqnarray*} c_1 \cdot e^{3t} + c_2 \cdot e^{2t} \end{eqnarray*}$

Fundamentalsystem:

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot e^{3t}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot e^{2t} \right\} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?
Und, wenn ja, wieso fehlen bei der allgemeinen Lösung der DGL die Eigenvektoren?

Fourier-Reihen

Zitat:

Zu der Fourier-Reihe: Man bestimmt diese nur für periodische Funktionen. Bei deiner Aufgabenstellung müsste also stehen, dass f 2Pi-periodisch erweitert wird. Dann erkennst du auch die Achsensymmetrie.

Es steht nur das da:

Zitat:

Skizzieren Sie die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x * (2 * \pi - x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 2\pi \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie die Fourier-Reihe von f.

Dass die Funktion achsensymmetrisch ist, weiß ich aus der Lösung (siehe Anhang, Blatt 1 & 2). Ich wollte halt nur wissen wie unser Dozent darauf gekommen ist. Spart in der Klausur ja Zeit, wenn ich weiß, dass ich $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ nicht berechnen muss, weil die Funktion achsensymmetrisch ist.

Gruß Shepherd

22.03.2011, 15:16

Shepherd

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*push*

22.03.2011, 15:24

Cel

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Zitat:

Original von Shepherd
allgemeine Lösung LDGS:

$\begin{eqnarray*} c_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot e^{3t} + c_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot e^{2t} \end{eqnarray*}$

allgemeine Lösung DGL:

$\begin{eqnarray*} c_1 \cdot e^{3t} + c_2 \cdot e^{2t} \end{eqnarray*}$

Fundamentalsystem:

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot e^{3t}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot e^{2t} \right\} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?
Und, wenn ja, wieso fehlen bei der allgemeinen Lösung der DGL die Eigenvektoren?

Ja, das stimmt. Die allgemeine Lösung der DGL ist die erste Zeile der Lösung des LDGS, denn die erste Komponente ist ja $\begin{eqnarray*} f_0 = y \end{eqnarray*}$ . Die zweite Zeile ist die Ableitung der ersten, wie du vielleicht merkst. Gerade so hat man substituiert, um nur erste Ableitungen betrachten zu müssen.

Zu den Fourier-Reihen zitiere ich mich selbst:

Zitat:

Oder anders: Auch, wenn es in deiner Aufgabe nicht drin steht, betrachtet man Fourier-Reihen nur für periodische Funktionen. Deine angegebene Funktion soll also jeweils außen periodisch forgesetzt werden. Bildlich kannst du dir das so vorstellen, dass der Graph, der zwischen 0 und 2Pi verläuft, außen wieder drangepackt wird.

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