Instabiler, aber attraktiver Gleichgewichtspunkt (dynamisches System)

21.03.2011, 14:27

Cel

Instabiler, aber attraktiver Gleichgewichtspunkt (dynamisches System)

Hallo Leute, ich hab mal wieder eine Frage zu meiner Vorbereitung auf meine Prüfung "Dynamische Systeme".

Bei der Definition der asymptotischen Stabilität fordert man ja, dass der Gleichgewichtspunkt überhaupt stabil ist. Folgendes Beispiel zeigt, dass das notwendig ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} \dot r = r(1 - r) \\ \dot \varphi = r(1 - \cos(\varphi)) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Eine Trajektorie im Phasenraum ist der Einheitskreis, so weit, so gut.

Startet man nun irgendwo auf dem Einheitskreis, läuft die Lösung dort herum bis sie in der Gleichgewichtslage (1,0) landet. Deswegen ist (1,0) nicht stabil, man kann knapp über (1,0) auf dem Kreis starten und die Lösung wird aus jeder Umgebung von (1,0) herauslaufen.

Die zweite Bedingung für asymptotische Stabilität ist aber erfüllt, denn für alle $\begin{eqnarray*} (r_0, \varphi_0) \neq (0,0) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \varphi^t(r_0, \varphi_0) = (1,0) \end{eqnarray*}$ . Genau diesen Grenzwert sollten wir als Übung nachweisen. Dabei ist Phi der Fluss des Systems, also die Lösung zum passenden Anfangswert.

Meine Frage: Wie soll das gehen? Meine Werkzeuge helfen mir nur, zu zeigen, dass dieser Punkt instabil ist, aber Aussagen über den Grenzwert fallen mir hier nicht ein, zumal ich die Lösung nicht berechnen kann / möchte. Das ist doch gerade das Credo von dynamischen Systemen, oder?

Ich wäre für Hilfe sehr dankbar! Wink

21.03.2011, 20:59

Cel

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Ich habe mal ein bisschen recherchiert, und das gefunden. Aber das bestätigt mir ja nur qualitativ, was ich schon geschildert habe ...

Und obwohl ich ja nicht crossposte, schau ich durchaus auch in andere Foren, diese Anfrage blieb ja auch unbeantwortet, ist das also vielleicht gar nicht so leicht?

Ähnlich vage Aussagen finden sich in diesem Buch:

[attach]18735[/attach]

Nun, vielleicht hole ich mich das angegebene Buch auch mal, aber ich wäre immer noch sehr erfreut, wenn jemand dieses Chaos entwirren könnte. Augenzwinkern

Edit: Gar nicht so einfach, herausfinden, was für ein Buch das ist, ist nicht Teil der Vorschau ...

22.03.2011, 11:16

gonnabphd

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Hiho,

Zitat:

Die zweite Bedingung für asymptotische Stabilität ist aber erfüllt, denn für alle $\begin{eqnarray*} (r_0, \varphi_0) \neq (0,0) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \varphi^t(r_0, \varphi_0) = (1,0) \end{eqnarray*}$ . Genau diesen Grenzwert sollten wir als Übung nachweisen. Dabei ist Phi der Fluss des Systems, also die Lösung zum passenden Anfangswert.

Meine Frage: Wie soll das gehen? Meine Werkzeuge helfen mir nur, zu zeigen, dass dieser Punkt instabil ist, aber Aussagen über den Grenzwert fallen mir hier nicht ein, zumal ich die Lösung nicht berechnen kann / möchte. Das ist doch gerade das Credo von dynamischen Systemen, oder?

Ersteinmal muss ich sagen, dass ich wahrlich nicht bewandert bin in diesem Thema. Aber ein paar Überlegungen wage ich mich dennoch zu machen. Augenzwinkern

An der DGL für r sieht man, dass für $\begin{eqnarray*} 0 < r < 1 \end{eqnarray*}$ der Radius streng monton [was macht?], für $\begin{eqnarray*} 1<r \end{eqnarray*}$ [was tut?]. Das impliziert ja schonmal, dass der Radius für t gegen unendlich [....?]

Da Phi nur $\begin{eqnarray*} \pmod {2\pi} \end{eqnarray*}$ interessant ist, kann man sich auf die Betrachtung von $\begin{eqnarray*} \varphi \in [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ beschränken. Dort ist jedoch $\begin{eqnarray*} r(1-\cos(\varphi)) \begin{cases} = 0 & \varphi = 0 \\ < 0 & \varphi \in (0,2\pi) \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Somit ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ für alle Werte in $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ ausser $\begin{eqnarray*} \varphi =0 \end{eqnarray*}$ streng monoton [was?]. Das bedeutet, dass [wie, wohin] konvergiert.

Bin mir nicht ganz sicher, ob das nicht irgendwie an deiner eigentlichen Frage vorbeischiesst...

Gruss Wink

22.03.2011, 16:50

Cel

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Hey, vielen, vielen Dank. Ich verwende mal deine Vorlage und ergänze:

An der DGL für r sieht man, dass für $\begin{eqnarray*} 0 < r < 1 \end{eqnarray*}$ der Radius streng monton [steigt], für $\begin{eqnarray*} 1<r \end{eqnarray*}$ [fällt]. Das impliziert ja schonmal, dass der Radius für t gegen unendlich [gegen 1 geht].

Da Phi nur $\begin{eqnarray*} \pmod {2\pi} \end{eqnarray*}$ interessant ist, kann man sich auf die Betrachtung von $\begin{eqnarray*} \varphi \in [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ beschränken. Dort ist jedoch $\begin{eqnarray*} r(1-\cos(\varphi)) \begin{cases} = 0 & \varphi = 0 \\ < 0 & \varphi \in (0,2\pi) \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Somit ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ für alle Werte in $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ ausser $\begin{eqnarray*} \varphi =0 \end{eqnarray*}$ streng monoton [fallend]. Das bedeutet, dass [ $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend gegen 0] konvergiert.

Zusammen konvergiert also die Lösung gegen (1,0). r ist immer positiv, sind ja Polarkoordinaten.

Deine Tipps haben voll ins Schwarze getroffen! Freude

Edit: Moment mal, da passt was nicht. Das hier

$\begin{eqnarray*} r(1-\cos(\varphi)) \begin{cases} = 0 & \varphi = 0 \\ < 0 & \varphi \in (0,2\pi) \end{cases} \end{eqnarray*}$

stimmt doch nicht. Setz ich $\begin{eqnarray*} \varphi = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , dann kommt dort doch $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ heraus. Die Kovergenz von r will mir einleuchten, aber Phi?

Es wäre doch vielmehr so, dass Phi monoton steigend ist, also gegen $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ konvergiert, was mit 0 quasi identisch ist. Wirkt das einleuchtend?

22.03.2011, 21:25

gonnabphd

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Hi Cel,

Zitat:

Es wäre doch vielmehr so, dass Phi monoton steigend ist, also gegen $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ konvergiert, was mit 0 quasi identisch ist. Wirkt das einleuchtend?

Damit hast du natürlich Recht! $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ konvergiert also immer gegen den nächsthöheren Wert aus $\begin{eqnarray*} 2\pi \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Auch alles andere sehe ich übrigens genauso wie du.

Gruss smile

22.03.2011, 23:37

Cel

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Nochmals danke, hoffentlich darf ich das dann in meiner Prüfung auch erklären, wo ich mir schon die Mühe mache, das zu verstehen.

Wink

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