Injiktivität überprüfen

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Deivid Auf diesen Beitrag antworten »
Injiktivität überprüfen
Meine Frage:
Hallo an euch allen,
Ich hab ein Problem die folgende Funktion auf Injiktivität zu überprüfen. Wie man Surjektivität überprüft das weiß ich.
Ich weiss, dass die folgende Funktion
f: R --> R mit f(x) = x^2 weder injektiv noch surjektiv ist.

Das diese Funktion nicht surjektiv ist habe ich nachgerechnet und auch bewiesen. Nur bei der Injektivität krieg ich was anderes raus.
Ich würde mich echt freuen, wenn jemand mir eine allegemeine Vorgehensweise bei der Injiktivität zeigen könnte.

Meine Ideen:
Eine Funktion ist injektiv falls gilt:
f(x)=f(y)

1. Fall: x ungleich 0

(y/x)^2 = 1 <-> y/x = 1 <-> y=x

2. Fall: x = 0

x^2 = y^2 <--> x = y

Somit habe ich eigentlich bewiesen, dass die Funktion injektiv ist...aber das soll ja nicht stimmen. Ich hoffe ihr könnt mir eine andere Vorgehensweise zeigen...

Gruß Deivid
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injiktivität überprüfen
Zitat:
Original von Deivid
Meine Ideen:
Eine Funktion ist injektiv falls gilt:
f(x)=f(y)
Nein, die Definition lautet:


Das heisst also dass zu jedem Element der Bildmenge von höchstens einem Element der Definitionsmenge angenommen wird.

Kannst du mir denn einen Punkt nennen der mehrmals angenommen wird?

Der eigendliche Fehler deiner Überlegung ist nämlich
Zitat:
x^2 = y^2 <--> x = y
Das ist nämlich falsch.
Überleg dir mal wiso es falsch ist dann kannst du so auch zeigen dass diese Funktion nicht injektiv ist
Deivid Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry aber ich weis echt nicht wo mein Fehler liegt, denn x^2 = y^2 und wenn man die Wurzel zieht auf beiden Seiten folgt x=y ...

Ja ich kann dir einen Punkt nennen: -1 und 1 als X Werte ergeben das gleiche wenn man es in f(x) einsetzt und somit ist f(x) nicht injektiv nur ich weis leider wie ich dies rechnerisch beweisen kann....

Gruß Deivid
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Deivid
Sorry aber ich weis echt nicht wo mein Fehler liegt, denn x^2 = y^2 und wenn man die Wurzel zieht auf beiden Seiten folgt x=y ...
Du hast doch unten selbst ein Beispiel geliefert dass dies eben nicht gilt Augenzwinkern
Wähle x=1,y=-1 und deine Aussage von oben gilt nicht.

Allgemein hat die Lösung der Gleichung immer zwei Lösungen, nämlich
Zitat:
Original von Deivid
Ja ich kann dir einen Punkt nennen: -1 und 1 als X Werte ergeben das gleiche wenn man es in f(x) einsetzt und somit ist f(x) nicht injektiv nur ich weis leider wie ich dies rechnerisch beweisen kann....
Das ist doch schon ein Beweis dafür dass es nicht injektiv seien kann, da diese Bedingung verletzt ist

Es ist, wenn du zeigen sollst dass etwas nicht injektiv ist, vollkommen ausreichend dafür ein Gegenbeispiel anzugeben
Deivid Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir für deine Hilfe...nur ich wollte eigentlich wissen, ob es denn eine allgemeine Vorgehensweise gibt die Injiktivität zu überprüfen ohne dass man den graphen zeichnen muss....
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Deivid
nur ich wollte eigentlich wissen, ob es denn eine allgemeine Vorgehensweise gibt die Injiktivität zu überprüfen ohne dass man den graphen zeichnen muss....
Nun du musst überprüfen ob die Definition der Injektivität eben erfüllt ist oder nicht.

Eine Skizze des Graphen kann dabei sehr hilfreich sein.
 
 
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »




?
Deivid Auf diesen Beitrag antworten »

ja das problem ist halt, dass wir in der Klausur keinen Graphen zeichnen dürfen...ist halt so bei uns an der Uni...wir müssen es rechnerisch beweisen...deswegen suche ich nach einer allgemeinen Vorgehensweise...
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst doch einfach das von Pascal95 schreiben, ist ja allgemein (für diese Funktion). Wieso reicht dir denn ein Gegenbeispiel nicht? Mehr braucht man ja nicht.

Nur um die Injektivität zu zeigen, reicht ein Beispiel nicht aus...
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Deivid
ja das problem ist halt, dass wir in der Klausur keinen Graphen zeichnen dürfen...ist halt so bei uns an der Uni...
Das wage ich zu bezweifeln, eine Skizze ersetzt sicher keinen formalen Beweis, aber weswegen sollte es verboten sein eine solche zu erstellen?

Was bringt dich denn zu der Annahme dass dies verboten sei? Steht da auf dem Deckblatt sowas wie "Das Zeichnen eines Graphen ist verboten."?
Schlimmstenfalls bringt es keine Punkte, aber weitere Konsequenzen hat es auch nicht

Zitat:
Original von Deivid
wir müssen es rechnerisch beweisen...deswegen suche ich nach einer allgemeinen Vorgehensweise...
Nun, ein Gegenbeispiel, wie hier in diesem Thema angegeben, ist durchaus ein Beweis. Sollte die Funktion also nicht injektiv sein dann solltest du am besten immer ein solches angeben.

Wenn du zeigen musst dass es injektiv ist:
Zitat:
Original von Deivid
Nun du musst überprüfen ob die Definition der Injektivität eben erfüllt ist oder nicht.

Wenn du uns also einfach mal sagen würdest wo genau das Problem dabei ist dann könnten wir dir auch weiter helfen
Deivid Auf diesen Beitrag antworten »

Ja der Beweis von Pascal95 ist allgemein und würde auch gehen...
Natürlich geht das auch mit einem Gegenbeispiel, ich habe ja auch nicht das gegenteil behauptet... Zu Math 1986 kann ich nur sagen, dass wir in der letzten Klausur in Höma eine Aufgabe bekommen haben wo ausdrücklich in der aufgabenstellung stand, dass wir entweder rechnerisch beweisen sollten oder halt mit einem gegenbeispiel widerlegen sollten ...aber eine Argumentation mit Hilfe eines Funktionsgraphen war nicht erlaubt. Man kann natürlich einenFunktionsgraphen zeichnen, aber argumentieren damit geht leider nicht...Da habe ich mich auch nicht richtig ausgerückt, sorry nochmals...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich kann man mit dem Graphen argumentieren. Du kannst zum Beispiel schreiben:
Anhand vom Graphen sieht man, dass -1 und 1 denselben Wert haben. Rechnerisch überprüft man dies leicht: (-1)^2 = 1 = 1^2. Also ist die Funktion nicht injektiv.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist völlig richtig, dass man anhand des Funktiongraph erkennen kann, ob ein Funktionswert mehrfach angenommen wird, also die Funktion nicht injektiv ist.

Oder du gehst von zwei gleichen Funktionswerten an den Stellen und aus:
Überprüfe dann, ob sich auf zurückführen lassen kann.

Wenn ja, bedeutet dass ja, dass die einzige Möglichkeit ist, dass die Funktionswerte zusammenfallen, wenn die x-Werte identisch sind, und das ist ja trivial.

Pascal
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