Integral über die Gauß-Glocke

21.03.2011, 15:25

Gast11022013

Integral über die Gauß-Glocke

Meine Frage:
Ich habe eine Frage.
Bei Wikipedia lese ich:

"Um zu zeigen, dass das Integral über die Gauß-Glocke $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} \end{eqnarray*}$ gleich 1 ist, genügt es, die Aussage

$\begin{eqnarray*} (\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx)^2=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2-y^2} dx dy=\pi \end{eqnarray*}$ zu beweisen."

Meine erste Frage: Wieso genügt das, wie kommt man darauf?
Meine zweite Frage: Wo kommt der Exponent $\begin{eqnarray*} -x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ her? Hat man hier Fubini angewandt?

Meine Ideen:
...

21.03.2011, 16:30

Mulder

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RE: Integral über die Gauß-Glocke

Zitat:

Original von Dennis2010
Meine erste Frage: Wieso genügt das, wie kommt man darauf?

Substituiere doch mal

$\begin{eqnarray*} \frac{x-\mu}{ \sigma \sqrt{2}}=z \end{eqnarray*}$

dann solltest du die Analogie erkennen. (Diese Wurzel 2 kommen zustande, wenn du im Exponenten von dem Vorfaktor -1/2 diese 1/2 auch noch in die Klammer reinziehst).

Zitat:

Original von Dennis2010
Meine zweite Frage: Wo kommt der Exponent $\begin{eqnarray*} -x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ her? Hat man hier Fubini angewandt?

Ja, man hat ja

$\begin{eqnarray*} \left ( \, \, \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, \dx \, \right )^2 = \left ( \, \, \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, \dx \, \right ) \cdot \left ( \, \, \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, \dx \, \right ) \end{eqnarray*}$

und nach Fubini kann man das nun so zusammenziehen.

21.03.2011, 17:46

Gast11022013

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RE: Integral über die Gauß-Glocke

Zitat:

Original von Mulder
Ja, man hat ja

$\begin{eqnarray*} \left ( \, \, \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, \dx \, \right )^2 = \left ( \, \, \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, \dx \, \right ) \cdot \left ( \, \, \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, \dx \, \right ) \end{eqnarray*}$

und nach Fubini kann man das nun so zusammenziehen.

Tut mir leid, das verstehe ich nicht.

Wo kommt plötzlich das y her? Und wieso darf man das so wie oben zusammenziehen?

Ist hier y=x, aber man führt y ein und "tut so", also würde es eine Funktion f geben, die von x und y abhängt um Fubini anwenden zu können?

21.03.2011, 18:21

Mulder

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RE: Integral über die Gauß-Glocke
Es ist doch letztlich total egal, ob man für x stattdessen y schreibt. Das ändert doch den Wert des Integral nicht.

$\begin{eqnarray*} \int_I f(x) \, \dd x = \int_I f(y) \, \dd y \end{eqnarray*}$

Damit lässt sich dann eben Fubini schön anwenden und das Integral kannst du mit einer Koordinatentransformation lösen.

21.03.2011, 18:25

Gast11022013

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RE: Integral über die Gauß-Glocke
Ja, das leuchtet mir ein, nur ist mir nicht klar, wie man dann auf die obige Form kommt.

Man multipliziert die beiden Integrale - und, man kann das zusammenziehen, weil eben der y-Anteil von dem dx nicht betroffen ist bzw. andersherum? (Dass man es so zusammenziehen kann, hat doch aber noch nichts mit dem Satz von Fubini zuu tun?)

21.03.2011, 18:50

Mulder

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RE: Integral über die Gauß-Glocke
Entscheidend ist doch dieser Schritt:

$\begin{eqnarray*} \int f(x,y) \, \dd (x,y) = \int \left ( \, \int f(x) \, \dx \, \right ) f(y) \, \dd y \end{eqnarray*}$

Sagt Fubini doch gerade, dass man unter bestimmten Voraussetzungen mehrdimensionale Integrale mit Hilfe von eindimensionalen solchen berechnen kann. Wir drehen das hier ja eigentlich um, wir machen aus zwei eindimensionalen Integralen dann eben quasi ein mehrdimensionales (dann wird es ja lösbar mit Polarkoordinaten).

Und dann ist eben dieses Integral über x bezüglich y konstant und umgekehrt und du kannst es einfach rausziehen. Wie du schon sagtest. Das ist dann der nächste Schritt.

21.03.2011, 19:17

Gast11022013

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RE: Integral über die Gauß-Glocke
Vom Satz von Fubini kenne ich es so, dass f(x,y) die Funktion ist. Hier hat man ja f(x) und f(y) "getrennt" und das hat mich verwirrt. Im Grunde, wenn ich das richtig verstanden habe, ist das aber das Gleiche. Die Funktion f hängt ja auch hier von x und y ab.

Sehe ich das so korrekt?

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