Transitive Gruppenoperation

21.03.2011, 17:28

tigerbine

Transitive Gruppenoperation

Eine Frage zur Namensgebung. Bei transitiv denke ich immer an so etwas von dieser Bauart:

Zitat:

Die Transitivität einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn aus x R y und y R z stets x R z folgt. Man nennt R dann transitiv.

Kann man und wenn ja wie, sich damit erklären, was es heißt, dass eine Gruppe transitiv auf einer Menge operiert?

Zitat:

Gibt es zu je zwei Elementen $\begin{eqnarray*} m_1,m_2\in M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} g \bullet m_1=m_2 \end{eqnarray*}$ gilt, so heißt die Operation transitiv. In diesem Fall gibt es nur eine einzige Bahn.

Ich hätte das eher in die Kiste "Surjektiv" gepackt, da es nur eine Bahn gibt. verwirrt

23.03.2011, 11:49

Reksilat

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RE: Transitive Gruppenoperation
Transitiv heißt "(auf etwas) übergehen" (vgl. Transit).
So richtig hat sich mir der Zusammenhang bisher nicht erschlossen. Man kann aber immerhin sagen, dass durch die Operation jedes Objekt auf jedes andere übergehen kann.

Der Begriff der Transitivität aus den Relationen ist dagegen für jede Gruppenoperation erfüllt – Wenn es zu $\begin{eqnarray*} m_1,m_2,m_3\in M \end{eqnarray*}$ Elemente $\begin{eqnarray*} g_1,g_2\in G \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} m_2=g_1\bullet m_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_3=g_2\bullet m_2 \end{eqnarray*}$ , dann ist natürlich $\begin{eqnarray*} m_3=(g_2g_1)\bullet m_1 \end{eqnarray*}$
Den Begriff hier rüberzutransportieren ist also nicht nötig.

Die Surjektivität ist bei Gruppenoperationen sowieso erfüllt. Für jedes Element aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ findet sich ein "Urbild". Zum Beispiel ist ja $\begin{eqnarray*} 1\bullet m=m \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

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