Reihe

21.03.2011, 18:31

magicarmz

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Reihe

hi ich habe eine frage zur folgenden aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n\cdot cos(nx)}{2^{n}} \end{eqnarray*}$
Anleitung: 1. Schritt: wende die abelsche summenformen an mit $\begin{eqnarray*} a_{n} =n \end{eqnarray*}$ . 2. schritt: denke an komplexe zahlen

ok als erstes habe ich die abelsche summenformel allgemein aufgeschrieben
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^N a_{n}b_{n}= \sum\limits_{n=0}^N (a_{n}-a_{n+1})s_{n}+a_{N+1}\cdot s_{N} \end{eqnarray*}$

dann habe ich das auf die angabe angewendet:
$\begin{eqnarray*} \lim_{N \to \infty} \sum\limits_{n=0}^N (\frac{n\cdot cos(nx)}{2^{n}}-\frac{(n+1)\cdot cos((n+1)x)}{2^{n+1}})*s_{n} + 0 \end{eqnarray*}$ (+0 weil ja der rest gegen null geht)

dann habe ich das mit den komplexen zahlen probiert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{N \to \infty} \sum\limits_{n=0}^N (\frac{n\cdot \frac{1}{2}\cdot (e^{i\cdot n \cdot x}+e^{-i\cdot n \cdot x})}{2^{n}}-\frac{(n+1)\cdot\frac{1}{2}\cdot (e^{i\cdot (n+1) \cdot x}+e^{-i\cdot (n+1) \cdot x}))}{2^{n+1}})*s_{n} \end{eqnarray*}$

aber leider weiß ich nicht, wie ich jetzt weiterkomme.. kann mir da bitte jemand helfen??

21.03.2011, 18:57

HAL 9000

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Du hast wohl ein wenig missverstanden, welche Wahl von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ hier sinnvoll wäre. unglücklich

unglücklich

Probier es mal mit $\begin{eqnarray*} a_n=n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b_n = \frac{\cos(nx)}{2^n} \end{eqnarray*}$ . Dann musst du noch für die Partialsumme

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=0}^n b_k = \sum_{k=0}^n \frac{\cos(kx)}{2^k} \end{eqnarray*}$

eine passende Vereinfachung finden, und dabei hilft dir der Umweg über die komplexen Zahlen (Stichwort: geometrische Reihe).

P.S.: Alternativ könnte man auch

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n = \frac{1}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$

zur Berechnung heranziehen, so man denn diese Formel kennt. Herleitungen dazu gibt es hier im Board in zig Threads. Wenn du allerdings an deine Anleitung gebunden bist, dann mach es lieber auch so. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Ich seh jetzt erst, dass $\begin{eqnarray*} a_n=n \end{eqnarray*}$ ja sogar schon in der Empfehlung steht - du solltest es also wirklich befolgen!

21.03.2011, 19:11

magicarmz

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erstmal vielen dank für die schnelle antwort..

ok ich habe dann das $\begin{eqnarray*} b_{n}=\frac{\cos(nx)}{2^n} \end{eqnarray*}$ umgeformt in komplexe zahlen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac {e^{ikx}+e^{-ikx}}{2^{k}} = \end{eqnarray*}$
(habe dann die summen auseinander gezogen und seperat berechnet)
$\begin{eqnarray*} = \frac {1}{2}(\frac {1}{1-\frac{e^{ix}}{2}} + \frac {1}{1-\frac{e^{-ix}}{2}}) \end{eqnarray*}$

aber hier scheiter ich.. habe dann probiert aus dem $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ wieder einen sinus oder einen cosinus zu bekommen, sehe aber da aber keine lösung..

wie muss ich das lösen??

EDIT:
habe das alles auch wieder in die abelsche summenformel eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty(n-(n+1))*(\frac{1}{2-e^{ix}}+\frac{1}{2-e^{-ix}}) \end{eqnarray*}$
aber hier bleibt ja garkein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mehr übrig zu summieren?!

21.03.2011, 19:23

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ ist doch nicht die Reihe selbst, sondern erstmal nur die n-te Partialsumme (!) dieser Reihe!

21.03.2011, 19:28

magicarmz

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achso... stimmt dann der ansatz?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty (n-(n+1)) \cdot \frac {e^{inx}+e^{-inx}}{2^{n}} \end{eqnarray*}$

21.03.2011, 19:29

HAL 9000

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Nein, das ist nur das Reihenglied $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ , wieder nicht die Partialsumme $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ - konzentrier dich mal.

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21.03.2011, 19:33

magicarmz

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Zitat:

Original von HAL 9000

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=0}^n b_k = \sum_{k=0}^n \frac{\cos(kx)}{2^k} \end{eqnarray*}$

wenn ich die summe auflöse (mit der geometrischen reihe) bekomme ich doch das $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ und das setzte ich dann in die formel, die ich am anfang gepostet habe ein, oder?!

21.03.2011, 20:22

HAL 9000

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Ja, wenn du diese Formel meinst:

Zitat:

Original von magicarmz
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^N a_{n}b_{n}= \sum\limits_{n=0}^N (a_{n}-a_{n+1})s_{n}+a_{N+1}\cdot s_{N} \end{eqnarray*}$

Das ist dann die Partialsumme der eigentlich gesuchten Reihe, von der du dann schlussendlich den Grenzwert $\begin{eqnarray*} N\to\infty \end{eqnarray*}$ betrachtest. Aber ich dachte, diese Strategie zur Aufgabenlösung sei dir längst klar? verwirrt

verwirrt

21.03.2011, 20:28

magicarmz

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ja habe ich auch gedacht, dass mir das klar ist :P aber anscheinend nicht ganz..

ich setze doch alles ein in die formel:
$\begin{eqnarray*} a_n = n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{n} = \sum\limits_{k=0}^n \frac {cos(kx)}{2^{k}} \end{eqnarray*}$

stimmt das so nicht?

21.03.2011, 20:36

HAL 9000

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Ja stimmt, aber irgendwie treten wir doch auf der Stelle: Das hatte ich doch schon 18:57 in meinem ersten Post geschrieben:

Zitat:

Original von HAL 9000
Dann musst du noch für die Partialsumme

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=0}^n b_k = \sum_{k=0}^n \frac{\cos(kx)}{2^k} \end{eqnarray*}$

eine passende Vereinfachung finden

21.03.2011, 20:42

magicarmz

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ich weiß ich nerve, aber ich schätze wirklich sehr deine hilfbereitschaft smile

smile

wirklich vielen Dank!!!

ok dann wenn wir einsetzen kommt doch das:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty (n-(n+1)) \cdot \sum\limits_{k=0}^\infty \frac {e^{ikx}+e^{-ikx}}{2^{k}} \end{eqnarray*}$

dann würde ich für die hintere summe eine vereinfachung finden.. dann hätte ich das mit geometrischen reihe berechnen..
aber das stimmt nicht oder wie? oder wie soll ich den hinteren teil vereinfachen??

21.03.2011, 20:51

Ibn Batuta

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Darf ich kurz die Frage in den Raum werfen, was mit dieser Reihe angestellt werden soll? Ich bin da noch nicht dahintergestiegen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Auf Konvergenz / Divergenz überprüfen vielleicht?

Ibn Batuta

21.03.2011, 20:53

magicarmz

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ich soll den wert der reihe berechnen.. aber komme leider nicht weiter unglücklich

unglücklich

21.03.2011, 20:57

HAL 9000

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Du gehst grauenhaft unachtsam mit den Indizes um: Wenn du

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=0}^n \frac{\cos(kx)}{2^k} \end{eqnarray*}$

in

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^N a_{n}b_{n}= \sum\limits_{n=0}^N (a_{n}-a_{n+1})s_{n}+a_{N+1}\cdot s_{N} \end{eqnarray*}$

einsetzt, dann steht da erstmal nicht mehr und nicht weniger als

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^N \frac{n\cdot \cos(nx)}{2^n} = \left( \sum\limits_{n=0}^N (n-(n+1)) \sum_{k=0}^n \frac{\cos(kx)}{2^k} \right) + (N+1)\cdot \sum_{k=0}^N \frac{\cos(kx)}{2^k} \end{eqnarray*}$

Einfach alle oberen Indizes durch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ersetzen stimmt nur (EDIT: vergiss es, stimmt auch nicht!!!), wenn absolute Konvergenz vorliegt und du dann beliebig umordnen könntest UND zudem $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{N\to\infty} a_{N+1}s_N = \lim\limits_{N\to\infty} (N+1)\cdot \sum_{k=0}^N \frac{\cos(kx)}{2^k} = 0 \end{eqnarray*}$ gelten würde.

Zumindest letzteres ist hier NICHT der Fall, deswegen zum wiederholten und letzten Male: Vereinfache $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der Partialsummenformel der geometrischen Reihe.

21.03.2011, 21:20

magicarmz

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ok jetz glaube ich versteh ich es.. hab es dann mit dieser formel ausgerechnet (die hinterste summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^N \frac{\cos(kx)}{2^k} \end{eqnarray*}$ ): $\begin{eqnarray*} \frac {1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ und da kommt $\begin{eqnarray*} 2cos(kx) \end{eqnarray*}$ raus.
das ist doch die partialsummenformel der geometrischen Reihe?!

es tut mir leid, wahrscheinlich wieder extrem doof aber mit dem (N+1) multipliziert da kommt ja unendlich raus unglücklich

unglücklich

wenn ich diese formel nehme: $\begin{eqnarray*} \frac {1}{1-q} \end{eqnarray*}$ kommt auch multipliziert mit (N+1) unendlich raus unglücklich

unglücklich

21.03.2011, 21:32

HAL 9000

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Ich lade gern andere Helfer dazu ein, hier zu übernehmen: Wenn ich bedenke, was an Rechnung noch bevorsteht, und in welchem Schneckentempo und mit welcher Fehlerrate es hier vorangeht - da habe ich weder Geduld noch Zeit für. unglücklich

unglücklich

21.03.2011, 21:33

magicarmz

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kann ich verstehen.. tuat mir leid.. und trotzdem wirklich vielen vielen dank

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