Matrix berechnen

21.03.2011, 20:55	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix berechnen Hallo, da bin ich schon wieder mit folgendem Beispiel: Berechnen Sie die Inverse $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ der Matrix $\begin{eqnarray} a=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit der auf Determinanten beruhenden Formel und machen Sie die Probe für Ihr Ergebnis. So, bis hierhin stellt die Aufgabe noch kein Problem dar. Der zweite Teil, der wie nachstehend lautet lässt mich aber leider im Dunkeln stehen: Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \| (((5A)^{-1})^{T}) \| \end{eqnarray}$ . Tu ich hier erstmal die Matrix mit 5 multiplizieren, dann die Inverse hiervon berechnen und dann noch die Inverse transponieren?! Danke im Voraus!
21.03.2011, 20:56	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Und im Anschluss die Determinante davon. Die Betragstriche deuten darauf hin... Ibn Batuta
21.03.2011, 21:13	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, hab ich ganz drauf vergessen Na dann, mach ich mich mal ans Zeug. Danke!
22.03.2011, 13:57	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \| ((((5A)^{-1})^{3})^{T}) \| \end{eqnarray}$ . So stimmts. Wie berechne ich den eine Matrix hoch etwas?
22.03.2011, 14:25	HarryStu	Auf diesen Beitrag antworten »
Indem Du die Matrix drei mal hintereinander multiplizierst. Zur Matrizenmultiplikation siehe Wikipedia. Gruß!
22.03.2011, 15:29	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach.. stimmt ja, danke! So, ich glaube ich stell mich nicht ganz geschickt beim Berechnen der inversen Matrix an: 5A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & 10 & 5 \\ 10 & -5 & 0 \\ -5 & 15 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (5A)^{-1}=\begin{vmatrix} 5 & 10 & 5\\ 10 & -5 & 0 \\-5 & 15 & 10 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Matrix durch 5 dividiert bzw. mal 1/5 multipliziert: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & -5 & -2 \\ 0 & 5 & 3 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ 2 und 3 Zeile durch 5 $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & -1 & \frac{-2}{5} \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \frac{-2}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & \frac{1}{5} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 &\frac{1}{5} \\ 0 & -1 & \frac{-2}{5} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ \frac{-2}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ \frac{-1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Zweile Zeile mal (-1), dritte Zeile mal 5. $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 &\frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 & \frac{5}{5} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ \frac{2}{5} & \frac{-1}{5} & 0 \\ \frac{-5}{5} & \frac{5}{5} & \frac{5}{5} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 5 & 0 &0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{5} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \frac{10}{5} & \frac{5}{5} & \frac{-5}{5} \\ \frac{20}{5} & \frac{-15}{5} & \frac{-10}{5} \\ \frac{-5}{5} & \frac{5}{5} & \frac{5}{5} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Erste und zweite Zeile durch 5. $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Stimmt das so? Das war alles ziemlich umständlich. Hätte ich etwas machen können, das die ganze Sache vereinfacht hätte? Vom Rechenaufwand her? Wenn wir jemand die Inverse bestätigten könnte, mach ich weiter mit dem ^3, Transponieren und Determinante. Danke!
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22.03.2011, 22:10	franziskar	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HansimGlück Jein. Es gibt den Asnatz über diagonalisieren. Dazu brauchst du die Eigenwerte der obigen Matrix A. Leider sehen diese Eigenwerte für ebendiese Matrix schrecklich aus, um symbolisch vernünftig gerechnet zu werden. Und numerisch von Hand rechnen ist lächerlich - meiner Meinung nach. Dir bleibt wohl nichts anderes übrig, als die Inverse mühsam mit dem Gauss-Algorithmus zu rechnen. Ich erhalte übrigens eine andere Inverse Matrix, nämlich: $\begin{eqnarray} \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & -2 \\ -5 & 5 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das gilt für die Inverse von A!!! Bei der Inversen zu 5A muss der Bruchterm vor der Matrix $\begin{eqnarray} \frac{1}{25} \end{eqnarray}$ betragen. Du musst dir schon sicher sein, was du machst Nun zu deinem Vorgehen: Warum dividierst du die Zeile 2 und 3 mit 5? Das ist zu früh und du machst dir damit nur das Leben schwer (Ausnahme: Du liebst Bruchrechnen). Zudem müsstest du durch -5 teilen, da das Ziel ist, auf der linken Seite die Einheitsmatrix zu erreichen. Sprich, alle Diagonalelemente (+)1. Also, 1. Linke Seite auf Dreiecksform bringen 2. Erst dann Diagonalelemente normieren 3. Dann Gauss nach oben Peace out franziskaRRR
23.03.2011, 10:25	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Besten Dank! Nun hats bei mir auch geklappt

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