Kombinatorik-Problem

Neue Frage »

Mareike85 Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik-Problem
Wettkampfbahnverteilung wird unter 8 Schwimmern ausgelost. Es wird nun gefragt, wie Wahrscheinlich es ist, dass die 2 Schwimmer mit den besten Vorleistungen auf benachbarten Bahnen schwimmen?

Ich habe da einfach keine Ahnung, wie ich das lösen soll.
Eine Hilfestellung wäre schon super smile
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Na, das ist doch ganz einfach:



Die Anzahl aller Fälle erhält man, in dem man berechnet auf wie viele Weisen man die beiden besten Schwimmer auf 8 Bahnen verteilen kann.

Wie viele Fälle gibt es davon, bei denen die beiden besten Schwimmer benachbart sind. Das kann man an drei Händen abzählen ... smile

Alles klar?

Übrigens: dass muss ein recht merkwürdiger Wettkampf sein. Normalerweise werden die Bahnen nämlich nicht ausgelost, sondern etwa nach den Wettkampfbestimmungen des DSV belegt. Bei einem Schwimmbecken mit 8 Bahnen erhält im Endlauf der beste Schwimmer Bahn 4 und der zweitbeste Schwimmer Bahn 5. Unter dieser Prämisse wäre p = 1. Big Laugh
 
 
Mareike85 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Antwort ist im Grunde sehr klar, aber ich krieg das Ergebnis immer noch nicht. Es gibt 6 Möglichkeiten die 2 besten Schwimmer auf 8 Bahnen nebeneinander zu verteilen. Jetzt muss ich eigentlich doch noch berücksichtigen, wer die besten 2 Schwimmer sein könnten. Ich hab ein komplettes Brett vor dem Kopf.
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid....gelöscht
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mareike85
Deine Antwort ist im Grunde sehr klar, aber ich krieg das Ergebnis immer noch nicht. Es gibt 6 Möglichkeiten die 2 besten Schwimmer auf 8 Bahnen nebeneinander zu verteilen. Jetzt muss ich eigentlich doch noch berücksichtigen, wer die besten 2 Schwimmer sein könnten. Ich hab ein komplettes Brett vor dem Kopf.

Vergiß die zwei besten Schwimmer überhaupt und stell die Fragen so:

1. Auf wieviele Arten kann man hier zwei nebeneinanderliegende Bahnen auswählen? (Das wären also dann die günstigen Fälle.)
2. Auf wieviele Arten kann man hier überhaupt zwei Bahnen auswählen? (Das wären also dann die möglichen Fälle.)

Wenn du die Antworten auf 1. und 2. ermittelt hast, ist der Quotient dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit...
Mareike85 Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe3 doch 8^8 Möglichkeiten, die Schwimmer auf die Bahnen zu verteilen, als generell. Das wär meine Antwort zu Frage 2. Das Ergebnis soll 1/4 sein, aber ich krieg das nicht raus. Ich muss wissen, wie ich da hin komme, um dann zu verstehen, warum.
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mareike85
ich habe3 doch 8^8 Möglichkeiten, die Schwimmer auf die Bahnen zu verteilen, als generell.

Ne haste nicht. Wie viel Möglichkeiten hat Schwimmer 1 wie viel Schwimmer 2, wie viele Schwimmer 3...

Zitat:
. Das Ergebnis soll 1/4 sein


Sicher? Ich komme auf 5/28

EDIT: Sorry hab mich vertippt. 1/4 ist doch richtig.
Mareike85 Auf diesen Beitrag antworten »

1/4 ist auf jeden Fall richtig. Also die Fälle, dass die 2 Nebeneinander schwimmen, wenn man mal bahn 1 und 8 als Paar weglässt, wären doch 14 (1+2,2+3,3+4,4+5,5+6,6+7,7+8 und jeweils gedreht 2+1,3+2...) oder nicht?
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mareike85
1/4 ist auf jeden Fall richtig. Also die Fälle, dass die 2 Nebeneinander schwimmen, wenn man mal bahn 1 und 8 als Paar weglässt, wären doch 14

1. Sind es 14, wenn die Bahnen 1 und 8 dabei sind. Du kannst ja die 2 durchrutschen und dabei kannst du die 2 auf 7 verschiedenen Stellen hinsetzen und dann kannste du die 2 noch untereinander tauschen, dann haste 2!*7=14 die 2 hinzusetzen.

Was steht im Nenner und was gehört noch in Zähler(was ist mit den anderen Schwimmern?)
Mareike85 Auf diesen Beitrag antworten »

normalerweise würde ich sagen, dass da 6^6 im Zähler fehlt, weil der Rest auf 6 Bahnen verteilt wird. In den Nenner würde ich immer noch 8^8 schreiben, weil das doch die Gesamtmöglichkeiten sind, wie man 8 Menschen auf 8 Bahnen/Sitze ect. verteilen kann?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Nachmals, lass die Schwimmer weg, die sind hier total uninteressant und betrachte nur die Bahnen, welche nicht unterscheidbar sind (auch wenn du sie aber als unterscheidbar ansiehst, dann liefert das nur jedesmal den Faktor 2, der sich bei der Quotientenbildung wegkürzt, d.h., das ist dann einfach nur alles umständlicher!)...

Stell dich jetzt von die 8 Bahnen und überleg, wie die 2 nebeneinanderliegenden Bahnen aussehen können... Betrachte vor allem nur die linke von den zweien und wieviele Arten der Auswahl es dafür gibt, die rechte ist ja dann festgelegt...

Und ja, das Endergebnis 1/4 stimmt...
Mareike85 Auf diesen Beitrag antworten »

also oben+ 6! und unten 8!... aber warum?
Mareike85 Auf diesen Beitrag antworten »

Sind die Schwimmer uninteressant, weil die 2 besten davor schon feststehen, oder warum? Wie wär es dann, wenn die 2 besten Schwimmer noch nicht feststehen würde und wenn zuvor nach der Möglichkeit gefragt wird, aus 8 Schwimmer 2 auszuwählen. Wäre das dann (8 über 2) ?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Konzentrier dich mal nur auf die Bahnen... Wieviele Möglichkeiten hast du bei 8 Bahnen die linke von den zwei nebeneinanderliegenden Bahnen auszuwählen?

Edit: Ja richtig, die Schwimmer sind sowas von egal, weil die zwei besten schon von vornherein feststehen, also da keine Auswahlmöglichkeit besteht...
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mareike85
also oben+ 6! und unten 8!... aber warum?


zu Unten:

der erste Schwimmer hat 8 Möglichkeiten
der zweite Schwimmer hat 7 Möglichkeiten
der 3. Schweimmer 6
.b
.
.

Also unten 8! Möglichkeiten.

Nun zum Zähler:

die 6 Leute auf die 6 übrigen Bahnen zu verteilen läuft wie im Nenner. Als der 3. Schwimmer hat 6 der 4 hat 5...

Die ersten beiden schwimmer müssen immer nebeneineander sein und haben deshalb, wie du oben schon erkannt hast 14 Möglihckeiten.

Also:

Mareike85 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut erklärt!! Kannst du mir noch erklären, was genau n^k bzw. ((n über k) * k!) auf dieses Bsp. übertragen bedeuten würde? Ich danke dir wirklich für deine Zeit und Nerven smile
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »


Hierbei handelt es sich um ZmZmR(Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge)
Das kann man nicht auf diese Beispiel erklären. Ich versuchs übers Urnenmodell.
Du hast eine Urne mit n verschiedenen Elementen. Du ziehst k mal und legst nach jedem Zug das Element wieder zurück. Dann hast du n^k Möglichkeiten wie die Ergenisse aussehen können.

Verstanden?

k!(n über k)
Hierbei handelt es sich um das ZoZmR (Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge)

Du hast wieder n verschiedene Elemnte und ziehst k mal, dabei legt du die gezogenen Kugeln nicht wieder zurück. Dabei bekommste du dann halt k!(n über k) Möglichkeiten.

Es gibt auch ZmZoR und ZoZoR.

Kannst du vll. sagen was das bedeutet und mit welcher Formel man das berechnen kann.
Mareike85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte mal das bespiel 6 Leute auf 2 Wagons zu verteilen, das war da 2^6. Was ist da der Unterschied zu 8 Leute auf 8 Bahnen zu verteilen?
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

Auf einer Bahn kann höchstens ein Schwimmer sein.

Auf einem Wagon können mehrere Leute sein.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Da jetzt mittlerweile schon eine Lösung vorliegt, sag jetzt noch, wie man die obige Aufgabe ohne Schwimmer rechnet...

Es gibt natürlich 7 Möglichkeiten, die linke Bahn von zwei nebeneinanderliegenden Bahnen auszuwählen, womit die rechte dann vollkommen festgelegt ist...

Es gilt ferner



für die Auswahlmöglichkeiten von irgendwelche zwei Bahnen... Damit gilt dann für die gesuchte Wahrscheinlichkeit



Ich hoffe, du siehst, dass diese Überlegung viel einfacher ist, wenn nicht, kann ich natürlich auch nichts machen... Wink

Edit: Übrigens nur der Ordnung halber: Ich habe ich mich hier erst "eingemischt", nachdem ich die katastrophal falschen (und inzwischen wegeditierten) Lösungsansätze von chris gesehen habe...
Mareike85 Auf diesen Beitrag antworten »

ZoZoR sollte dann ja Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge heißen.
Ich würde denken, dass es (n über k) ist.

ZmZoR Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge ((n+k-1) über k )

Mir fehlt es aber immer ein wenig an realen Beispielen, damit ich mir die merke, wann ich diese anwenden soll.
Mareike85 Auf diesen Beitrag antworten »

Die 2 Art die 1/4 auszurechnen, kann ich wirklich nicht nachvollziehen. (8 über 2) soll ja heißen, 2 Bahnen aus 8 auszuwählen. ok, aber was soll die 7 in Kombination mit dem davor bedeuten?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mareike85
Die 2 Art die 1/4 auszurechnen, kann ich wirklich nicht nachvollziehen. (8 über 2) soll ja heißen, 2 Bahnen aus 8 auszuwählen. ok, aber was soll die 7 in Kombination mit dem davor bedeuten?

Ich hab's zwar schon mehrfach gesagt, aber auf ein weiteres Mal kommt es auch nicht mehr an: 7 ist die Anzahl der Möglichkeiten, zwei nebeneinanderliegende Bahnen auszuwählen...
Mareike85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das versteh ich, aber wenn du, wie du gesagt hast, nicht die 14 Möglichkeiten, sondern nur die 7 berücksichtigt, weil die rechte Bahn immer von der Wahl der linken abhängt, versteh ich nicht, warum es dann in diesem beispiel 8 über 2 im Nenner heißt?
Mareike85 Auf diesen Beitrag antworten »

also im Unterscheid zu 8!.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Auf wieveil Arten kannst du 2 Bahnen aus 8 Bahnen auswählen? Das ist doch hier die Frage... Und die Anwort ist eben



Habt ihr das noch nicht gelernt? Kombinationen (ohne Wiederholung)...
Mareike85 Auf diesen Beitrag antworten »

warum nicht (8 über 2) 2!? Die Platzierung spielt doch hier anscheinend eine Rolle, weil Sie das doch oben auch tut?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bahnen sind nicht unterscheidbar... Falls du sie aber als unterscheidbar ansehen, so würde das gleiche herauskommen, da man dann sowohl Zähler wie Nenner in dem Bruch für p mit 2 multiplizieren müsste, womit sich diese 2 dann wieder wegkürzt... Aber auch das habe ich oben schon geschrieben:

Zitat:
Original von Mystic
Nachmals, lass die Schwimmer weg, die sind hier total uninteressant und betrachte nur die Bahnen, welche nicht unterscheidbar sind (auch wenn du sie aber als unterscheidbar ansiehst, dann liefert das nur jedesmal den Faktor 2, der sich bei der Quotientenbildung wegkürzt, d.h., das ist dann einfach nur alles umständlicher!)...

Ich frage mich da, ob du meine Postings wirklich liest... Oder ist es für dich einfach nur weniger umständlich, wenn ich mich hier ständig wiederhole, statt dass du meine Postings genauer durchliest? verwirrt
Mareike85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab im Grunde verstanden, was du mir geschrieben hast, jedoch sollte meine letzte Frage auf was anderes abzielen:

Ich dachte, wenn du die Bahnen nicht voneinander unterscheidest, dann würde da nicht 7 im Zähler stehen, sondern wenn dann 14. das hast du ja auch gesagt, dass sich das wegkürzt. warum da aber überhaupt eine 2 im Nenner steht, ist mir nicht klar. Ist das so, weil da eigentlich (8 über 2)*2! steht, oder meinst du wirklich (8 über 2) *2? (kommt das gleiche raus, aber von der Bedeutung ja ein ein wenig andere.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mareike85
Ich hab im Grunde verstanden, was du mir geschrieben hast, jedoch sollte meine letzte Frage auf was anderes abzielen:

Ich dachte, wenn du die Bahnen nicht voneinander unterscheidest, dann würde da nicht 7 im Zähler stehen, sondern wenn dann 14. das hast du ja auch gesagt, dass sich das wegkürzt. warum da aber überhaupt eine 2 im Nenner steht, ist mir nicht klar. Ist das so, weil da eigentlich (8 über 2)*2! steht, oder meinst du wirklich (8 über 2) *2? (kommt das gleiche raus, aber von der Bedeutung ja ein ein wenig andere.

Wenn man die Bahnen nicht unterscheidet, sind es immer weniger Möglichkeiten als bei einer Unterscheidung, das nur mal prinzipiell... Also bei einer Nichtunterscheidung, so wie ich das hier gerechnet habe, sind es nur 7 Möglichkeiten (das sind genau die 7 Möglichkeiten für die Auswahl der linken Bahn), würde man sie unterscheiden, wären es doppelt so viele... Also nochmals ausführlich:

Auswahl der benachbarten Bahnen (nummeriert mit 1,2,3,4,5,6,7,8)

bei Nichtunterscheidung: 12,23,34,45,56,67,78
bei Unterscheidung: 12,21,23,32,34,43,45,54,56,65,67,76,78,87

Auswahl von zwei Bahnen

bei Nichtunterscheidung: 12,13,14,15,16,16,17,18,23,24,...,78 (insgesamt 28)
bie Unterscheidung: 12,21,13,31,14,41,...,78,87 (insgesamt 56)

Siehst du nun endlich, warum der Fall der Nichtunterscheidbarkeit einfacher ist? verwirrt
Mareike85 Auf diesen Beitrag antworten »

jap, SUPER! Ich will deine Zeit nicht zuviel in Anspruch nehmen, weil es schon wirklich nett von dir ist, dass du dir dafür überhaupt Zeit nimmst, aber ich würde gerne wissen, wie ich die folgenden Situationen sehen kann:

3Personen, 3 Fahrstuhlausgänge:

Wahrscheinlichkeit, dass
a) alle in der 3 Etage'
b) gemeinsam
c) auf verschiedenen Etagen

aussteigen? (ist keine Hausaufgaben, wie davor alles zur Klausurvorbereitung wichtig)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber wie du schon gesagt hast, hab ich hier schon einiges an Zeit investiert und das Ganze ist mir, ehrlich gesagt, auch ein bißchen zu mühsam...

Mein Rat daher: Stell diese Aufgabe (so wie jede neue!) in einen eigenen Thread und es wird dir sicher wieder rasch geholfen werden... Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »