dominierte Konvergenz

22.03.2011, 12:30	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
dominierte Konvergenz Meine Frage: Kurze Verständnisfrage, zu der ich ein bisschen ausholen muss: Bei Wikipedia findet sich als Beispiel dafür, dass die Majorisierbarkeit $\begin{eqnarray} \|f_n\|\leq g \end{eqnarray}$ wesentlich für das "Funktionieren" des Satzes von der dominierten Konvergenz ist: $\begin{eqnarray} (q_n)_{n \in \mathbb N}, q_n:[0,1]\to \mathbb R,q_n:=n\chi_{[0,\frac{1}{n}]} \end{eqnarray}$ Diese Konstruktion ist mir klar, wenn man sich das aufzeichnet, so erkennt man auch, dass die Folge gegen 0 konvergiert, denn der Bereich, auf dem die charakteristische Funktion den Wert 1 annimmt, wird ja immer kleiner. Was ich nicht verstehe ist die Aussage: $\begin{eqnarray} \lim q_n=0 \end{eqnarray}$ fast überall . Ich erkenne nicht, wo es da eine Nullmenge gibt, für deren Elemente dies nicht gilt. Die weitere Aussage ist mir dann wieder klar, nämlich: $\begin{eqnarray} \lim \int_{[0,1]} q_n=\lim 1=1\neq \int_{[0,1]} 0=\int_{[0,1]}\lim q_n \end{eqnarray}$ . Der Satz über die dominierte Konvergenz gilt also nicht. Meine Ideen: ??
22.03.2011, 12:47	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
An der Stelle $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ geht das ganze schief, denn für jedes $\begin{eqnarray} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} n\chi_{[0,\frac 1 n ]}(0)=n \end{eqnarray}$ . Und diese einpunktige Menge ist natürlich eine Nullmenge bezüglich des Lebesgue-Maßes.
22.03.2011, 12:47	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist doch $\begin{eqnarray} q_n(0)=n \end{eqnarray}$ . Also gilt $\begin{eqnarray} \lim q_n = 0 \end{eqnarray}$ nur auf $\begin{eqnarray} (0,1] \end{eqnarray}$ , also nur fast überall.
22.03.2011, 17:15	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, sehr gut erklärt!

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