Induktionsaufgabe

22.03.2011, 13:38

icestar_23

Auf diesen Beitrag antworten »

Induktionsaufgabe

Meine Frage:
Halli Hallo, ich benötige dringendst Hilfe bei der Lösung von 2 Induktionsaufgaben, bei dennen ich immer und immer wieder scheitere.

Die erste Aufgabe lautet: x1 := 1
x2.=1
xn+2 := 4* xn für alle n Element N
Zeigen sie durch vollständige Induktion
xn = 3*2^(n-3)+ (-2)^(n-3)

Die zweite lautet:
Summe von k=1 bis N Ist K^(k) <= n*(n*(n+1)/2)

>Vielen Dank für jede Hilfe

Meine Ideen:
Zu der ersten Aufgabe habe ich echt gar keine Idee muss ich sagen! das verstehe ich echt nicht ich bin um jeden tip dankbar!!

Bei der zweiten komme ich gut vorran bis zur Abspaltung des letzten Terms, der ja dann n+1^n+1 ist. Und ich weiß nicht was ich mit dem machen muss das der annährend so aussieht wie die rechte seite!

22.03.2011, 13:45

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib bei der zweiten Behauptung doch bitte mal die richtige Formel hin. Die hier

Zitat:

Original von icestar_23
Summe von k=1 bis N Ist K^(k) <= n*(n*(n+1)/2)

würde ich als

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^k \leq n\cdot \frac{n\cdot (n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

lesen, was aber eine falsche Behauptung wäre. verwirrt

verwirrt

22.03.2011, 14:47

Denniiis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Aufgabe hier auch neben mir liegen.
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^k \leq n^ \frac{n\cdot (n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

IA: n=1

$\begin{eqnarray*} 1\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist schonmal richtig.

weiter würde ich dann nicht kommen. Man erkennt ja, dass es richtig sein, muss weil es hinten sich um die gaussesche Summenformel handelt und das heißt es wäre größer als k.

22.03.2011, 14:55

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Also "hoch" $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ statt nur "mal" $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ wie bei icestar_23 - danke für die Richtigstellung.

EDIT: Jetzt ist mir auch wieder eingefallen, dass ich das ganze doch hier im Board schon mal gesehen und besprochen habe:

Induktionsbeweis Ungleichung

Wink

Wink

22.03.2011, 15:27

Denniiis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte jetzt nochmla eine Verständisfrage k^k bleibt immer in dem Fall 1 oder würde es sich bei n+1 ändern? denn es kommt ja immer nur k vor und k ist ja mit 1 "festgeschrieben" oder?
Und gibt es irgendeinen "Trick" wie man auf das vereinfachen kommen kann? Denn ich habe es jetzt probiert umständlcih umzustellen und käm gar nicht auf die Idee.

22.03.2011, 15:31

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Denniiis
Ich hätte jetzt nochmla eine Verständisfrage k^k bleibt immer in dem Fall 1 oder würde es sich bei n+1 ändern? denn es kommt ja immer nur k vor und k ist ja mit 1 "festgeschrieben" oder?

Deine Frage zeigt mir, daß du dich noch ein bißchen mit der Summenschreibweise beschäftigen mußt.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^k \end{eqnarray*}$ bedeutet, daß k alle natürlichen Zahlen von 1 bis n durchläuft. Die entstehenden Terme (Zahlausdrücke) werden dann aufsummiert.

Anzeige

22.03.2011, 15:31

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Denniiis
Ich hätte jetzt nochmla eine Verständisfrage k^k bleibt immer in dem Fall 1 oder würde es sich bei n+1 ändern?

Seltsame Anfrage, da du nicht sagst, von welchem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Wert du hier sprichst? Ich nehme mal an, du meinst $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ , dann ist es natürlich klar, dass $\begin{eqnarray*} k^k = 1^1 = 1 \end{eqnarray*}$ immer der erste Summand dieser Summe ist, ganz gleich wie groß $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist.

22.03.2011, 15:34

Denniiis

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn zum Beispiel n=2 wäre dann würde es heißen 1*1 + 1*2?

22.03.2011, 15:36

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, sondern $\begin{eqnarray*} 1^1+2^2 \end{eqnarray*}$ .

Und gewöhnt euch (also du und auch icestar_23) doch endlich mal ab, sowohl "mal" als auch "hoch" beides mit * zu kennzeichnen - wer soll denn da auseinanderhalten, was ihr jeweils meint? unglücklich

unglücklich

Wenn schon ohne LaTeX-Formeleditor geschrieben, dann doch bitte * für "mal" und ^ für "hoch".

22.03.2011, 15:54

Denniiis

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^k \leq n\cdot \frac{n\cdot (n+1)}{2} \end{eqnarray*}$
Nehme dann jetzt die Vorraussetzung aus dem andren Thread.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^k \leq n^{n+1} \end{eqnarray*}$

Also müsste dann
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^k+ k^{n+1} \leq n^{n+2} \end{eqnarray*}$ sein.

DAnn kann man, weil $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^k\leq n^{n+1} \end{eqnarray*}$

das amchen

$\begin{eqnarray*} n^{n+1}+ k^{n+1} \leq n^{n+2} \end{eqnarray*}$

Denke ich soweit richitg oder liege ich immernoch daneben?

22.03.2011, 15:58

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Denniiis
$\begin{eqnarray*} \ldots \leq n\cdot \frac{n\cdot (n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Wieder * statt ^, wie oft muss ich diesen Müll denn noch ansehen bzw. ansprechen? Forum Kloppe

Forum Kloppe

-----------------------

Wenn man $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in die Formel $\begin{eqnarray*} n^{n+1} \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann steht da NICHT $\begin{eqnarray*} n^{n+2} \end{eqnarray*}$ , sondern

$\begin{eqnarray*} (n+1)^{(n+1)+1} = (n+1)^{n+2} \end{eqnarray*}$ .

22.03.2011, 16:00

Denniiis

Auf diesen Beitrag antworten »

immerihn habe ich nur einmal * statt ^, bessere mich langsam...hat damit aber zutun gehabt, dass ich es irgendwo von oben kopiert habe, wei lcih zufaul war es zu schreiben...

wegen dem 2. Punkt, hast recht...werde mich jetzt damit mal ne runde allein beschäftigen und gucken ob ich es gebacken bekomme...danke ;-) Freude

Freude

22.03.2011, 16:03

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Denniiis
hat damit aber zutun gehabt, dass ich es irgendwo von oben kopiert habe, wei lcih zufaul war es zu schreiben...

Das macht die Sache nicht besser. Derartige "Faulheiten", wie z.B. auch das "Vergessen" von Klammern, sind ein stetiger Quell von Folgefehlern beim Rechnen. Das ganze Matheboard ist voll von solchen Threads.

23.03.2011, 23:20

icestar_23

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ich wollte kein Summenzeichen setzen, sondern ein Produktzeichen.
Und das war leider nicht im Formeleditor zu finden!!
aber meiner Meinung nachfunktioniert es allesnicht, weil es ein kleiner gleich Zeichen ist!! Ich weiß ich stell mich dumm an, aber ich bitte wirklich um Tipps!!

23.03.2011, 23:43

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von icestar_23
hmm ich wollte kein Summenzeichen setzen, sondern ein Produktzeichen.
Und das war leider nicht im Formeleditor zu finden!!
aber meiner Meinung nachfunktioniert es allesnicht, weil es ein kleiner gleich Zeichen ist!! Ich weiß ich stell mich dumm an, aber ich bitte wirklich um Tipps!!

Schreib deine Aufgabe nochmal schön sauber, ordentlich und komplett mit dem Formeleditor und ich schaus mir mal an

Das Produktzeichen ist \prod

24.03.2011, 00:04

icestar_23

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} k=1 \prod n k^{k} = n^{\frac{n\cdot \left(n+1\right) }{2} } \end{eqnarray*}$
Das k=1 und das n sind die begrenzungen des Produktes!

24.03.2011, 00:12

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von icestar_23
$\begin{eqnarray*} k=1 \prod n k^{k} = n^{\frac{n\cdot \left(n+1\right) }{2} } \end{eqnarray*}$
Das k=1 und das n sind die begrenzungen des Produktes!

<sowas?
$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n k^k=n^{\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch, man wähle n=2 als Gegenbeispiel

Ich habe keine Lust mehr über die Ausgabenstellung zu raten Wink

Wink

24.03.2011, 00:37

icestar_23

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^n k^{k} \leq n^{\frac{n\cdot \left(n+1\right) }{2} } \end{eqnarray*}$
Verzeitung Gott

Gott

24.03.2011, 09:50

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das sieht mir zumindest nach einer richtigen Aussage aus.

Wo ist dein Induktionsanfang?
Wo der liegt sollte auch in der Aufgabenstellung stehen

Dann mach dir mal Gedanken über Induktionsvorraussetzung und -schluss

25.03.2011, 13:28

icestar_23

Auf diesen Beitrag antworten »

Also der INduktionsanfang liegt bei 1, dementsprechend komme ich bei $\begin{eqnarray*} 1\leq 1 \end{eqnarray*}$ raus was ja erstmal richtig ist. Dann nehme ich den Induktionsschrittvor, also aus n folgt n+1!
Dann spalte ich n+1 ab und vollziehe die Induktions Vorraussetzung also er halte ich nach meiner Meinung
$\begin{eqnarray*} n^{\frac{n\cdot \left(n+1\right) }{2} }\cdot \left(n+1\right) ^{n+1} \leq n^{\frac{n\cdot \left(n+1\right) }{2} } \end{eqnarray*}$ und das wäre ja falsch!!

25.03.2011, 13:31

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum schreibst du auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} n^{\frac{n\cdot \left(n+1\right) }{2} } \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Was sollte denn im Induktionsschritt da rauskommen?

25.03.2011, 13:50

icestar_23

Auf diesen Beitrag antworten »

ja entschuldigung es ist natürlich n+1, aber das macht es doch immer noch falsch, weil wenn man die Induktionsvorraussetzung mit n+1^n+1 multipliziert kommt doch etwas großes raus, oder nicht?

25.03.2011, 13:57

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und wo ist das Problem? Nun schreib doch mal hin, was zu zeigen ist, und dann schauen wir, wie man dahin kommen kann.

26.03.2011, 21:55

icestar_23

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Ja und wo ist das Problem? Nun schreib doch mal hin, was zu zeigen ist, und dann schauen wir, wie man dahin kommen kann.

Also ich muss irgendein Produkt rausbekommen, dass kleiner Gleich der Rechten Seite ist.. Aber das funktioniert nach dem Induktionsschritt meiner Meinung nach nicht!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »