Körperkompositum rein inseparabel

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Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »
Körperkompositum rein inseparabel
Ich habe Probleme bei folgendem Beweis:

Zitat:
Sei eine algebraische Körpererweiterung. Seien rein inseparable Zwischenkörper. Zeige: Das Kompositum ist rein inseparabel.


Ich glaube nicht, dass es besonders schwer sein sollte, aber ich schaffe es leider nicht. Ich habe das Gefühl, dass man es über die Transitivität schaffen könnte:

Dazu müsste ich noch zeigen, dass rein inseparabel ist, was mir aber nicht gelingt.

Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

wird doch von allen Elementen aus erzeugt (als-Algebra).

Da man reine Inseparabilität über das Minimalpolynom überprüfen kann würde ich jetzt einfach die Minimalpolynome von Elementen aus über betrachten, denn diese teilen ja die Minimalpolynome der Elemente aus über .
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh, also ich müsste ja zeigen:

Sei . Dann hat mehrfache Nullstelle(n). Ich kann Deinen Hinweis leider nicht anwenden.

"Elemente aus über betrachten": Ich weiß doch nicht, ob eine Körpererweiterung von ist, oder doch?

Das Kompositum hatten wir einfach als kleinsten Körper definiert, der und enthält, also .
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Idee: Ich weiß, dass ich eine separable Körpererweiterung erhalte, wenn ich an einen Körper K eine Menge A adjungiere, die nur aus über K separablen Elementen besteht. Also K(A)/K ist dann separabel.

Gibt es vielleicht einen ähnlichen Zusammenhang bei inseparablen Elementen? Allerdings sehe ich auch hier nicht, warum alle Elemente aus über inseparabel sein müssen. Das Minimalpolynom eines solchen Elements über teilt ja, wie Du gesagt hast, das Minimalpolynom über K. Wieso kann es nicht sein, dass eine doppelte Nullstelle im Zerfällungskörper hat (=inseparabel), aber nur einfache (=separabel)?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MerliniusNoch eine Idee: Ich weiß, dass ich eine separable Körpererweiterung erhalte, wenn ich an einen Körper K eine Menge A adjungiere, die nur aus über K separablen Elementen besteht. Also K(A)/K ist dann separabel.

Gibt es vielleicht einen ähnlichen Zusammenhang bei inseparablen Elementen?

Ja, genau den gleichen. (Das benutzte ich auch in dem anderen Thread)

Was Manus meint, ist: Jedes Element aus rein inseparabel über , also als Element aus auch über
Damit ist dann über erzeugt von einer Menge rein inseparabler Elemente..
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem bleibt, dass mir dieser Schritt nicht klar wird:

Zitat:
Original von juffo-wup
Was Manus meint, ist: Jedes Element aus rein inseparabel über , also als Element aus auch über


Wieso ist ein Element aus inseparabel über ? Es ist zwar inseparabel über K, aber da kein Zwischenkörper von ist, kann man ja nicht die Transitivität der (In)Separabilität benutzen. Wie kann man das formal begründen?
 
 
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Dass L/E rein inseparabel ist für einen Zwischenkörper E von L/K wenn L/K es ist, sollte eigentlich nicht schwer zu sehen sein. Was ist denn deine Definition von "rein inseparabel", wo liegt das Problem z.B. bei dem Ansatz, den Manus genannt hat?
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Definition ist:

ist rein inseparabel, wenn für alle gilt: ist inseparabel über K.

Zitat:
Dass L/E rein inseparabel ist für einen Zwischenkörper E von L/K wenn L/K es ist, sollte eigentlich nicht schwer zu sehen sein.


Ja, das ist klar.

Aber ich weiß nicht, wie ich diese Aussage auf den vorliegenden Fall anwenden könnte. Es ging ja darum zu begründen, warum über rein inseparabel ist*. Allerdings ist kein Zwischenkörper von , also ist die Aussage nicht anwendbar.

*Damit folglich die Adjunktion rein inseparabel wäre.

-----

Die Betrachtung der Minimalpolynome wie von Manus vorgeschlagen bringt mir leider keine Einsicht. Beispiel:

Sei . Zu zeigen ist, dass mehrfache Nullstellen hat. Ich weiß, dass über K inseparabel ist. Sei etwa das Minimalpolynom:



Wieso kann jetzt nicht sein:

? Mein zweites Polynom teilt das erste, hat aber nicht die doppelte Nullstelle geerbt.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Merlinius
Meine Definition ist:

ist rein inseparabel, wenn für alle gilt: ist inseparabel über K.

Achso, dann liegt es daran. Mit dieser Definition ist es tatsächlich nicht unmittelbar klar. Benutze statt dessen die äquivalente Definition "L/K mit Charakteristik p ist rein inseparabel, wenn für alle ein existiert mit "
Elemente in L, für die so ein k existiert, nennt man dann auch 'rein inseparabel', was nicht äquivalent zu 'nicht separabel' ist, obwohl "Für alle : ist nicht separabel" äquivalent zu "Für alle : ist rein inseparabel" ist.
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh, danke. Ja dann ist es wirklich direkt klar. Diese Formulierung taucht bei mir aber nirgendwo als Äquivalenz auf (Lorenz, Algebra 1, sowie in meinen Unterlagen). Der Begriff "rein inseparabel" ist hier auch nicht für einzelne Elemente definiert. Hier steht lediglich folgende Richtung:

Zitat:
Sei rein inseparabel mit , mithin also . Zu beliebigem gibt es dann .


Na gut, wieder was gelernt. Allerdings muss die Aufgabe noch irgendwie anders lösbar sein, da sie ja aus dem Buch kommt. Die Aussage, dass K(A)/K rein inseparabel ist, wenn alle Elemente von A inseparabel über K sind, steht z.B. auch nicht drin.

Vielen Dank auf jeden Fall
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Merlinius
Die Aussage, dass K(A)/K rein inseparabel ist, wenn alle Elemente von A inseparabel über K sind, steht z.B. auch nicht drin.

Vorsicht, ich glaube das gilt i.a. nicht - nur wenn die Elemente von A rein inseparabel sind.

Die andere Richtung : Falls , dann teilt das Minimalpolynom von das Polynom
Über zerfällt so : , insbesondere ist , also auch das Minimalpolynom, inseparabel (oder linear).
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