monoton steigend

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(Gast)R Auf diesen Beitrag antworten »
monoton steigend
Hallo.

Ich möchte zeigen dass bei der rekursiven Folge

a_1:=1
a_{n+1}:= \
(Gast)R Auf diesen Beitrag antworten »
RE: moton steigend
Hoppala, ich bin gerade auf Senden gekommen. Sorry
Also ich meinte:

Ich möchte zeigen dass bei der rekursiven Folge




moton steigend ist.

Wie macht man das jetzt?

Also ich weiss, die Definition dafür ist



Aber hier habe ich ja leider kein geben, also was nun?

Würde mich sehr über Antworten freuen!

Danke euch!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Vollständige Induktion kann zum Beispiel helfen Augenzwinkern .
(Gast)R Auf diesen Beitrag antworten »

Nabend.

Damit ich das richtig verstehe, wenn ich zeige, dass diese Folge beschränkt ist gegen ihren Grenzwert 2, was ich mit vollständiger Induktion mache, dann ist das gleichbedeutend mit monoton steigend?

Also ich zeige, dass die Folge beschränkt ist und daran erkenne ich, dass sie monoton steigend ist?

Gruß
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein! Du zeigst mit vollständiger Induktion die Ungleichung .

Gruß MSS
(Gast)R Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Also so ganz habe ich den Dreh da noch nicht heraus.

Der Grenzwert a ist in diesem Falle 2.

Nun ist und folglich

Nun mache ich mit vollständiger Induktion, dass

ist

Zunächst einmal mit n = 1

Stimmt. Denn a_1 ist ja 1 und das ist kleiner 2

Nun der nächste Schritt n->n+1

Nach Induktionsannahme



Stimmt.

Und damit zeige ich doch, dass das ganze Beschränkt ist?

Oder zeige ich damit, dass die Folge monoton steigend ist?

Ich müsste aber beides zeigen. Was fehlt mir jetzt? Tut mir Leid, so ganz habe ich das also noch nicht verstanden.
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von (Gast)R
Der Grenzwert a ist in diesem Falle 2.

Nun ist und folglich


Das willst du beweisen und kannst es noch nicht benutzen.


Zitat:
Nun mache ich mit vollständiger Induktion, dass

ist


Das ist eine Behauptung, nämlich die, dass deine Folge nach oben beschränkt ist.


Zitat:
Zunächst einmal mit n = 1

Stimmt. Denn a_1 ist ja 1 und das ist kleiner 2


OK, das ist der Induktionsanfang.


Zitat:
Nun der nächste Schritt n->n+1

Nach Induktionsannahme



Stimmt.


Hier muss statt dem "=" ein "<=" stehen: . Zusätzlich solltest du beachten, dass alle Folgenglieder positiv sein müssen (sonst ist die Wurzel ggf. nicht definiert), was du ebenfalls noch zeigen müsstest.


Zitat:
Und damit zeige ich doch, dass das ganze Beschränkt ist?

Oder zeige ich damit, dass die Folge monoton steigend ist?


Du hast nun die Beschränktheit gezeigt, nicht jedoch die Monotonie.

Grüße Abakus smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Alternative: Im vorliegenden Fall kann man auch gleich das leicht zu erkennende durch Induktion nachweisen, da fällt dann die Monotonie quasi als "Nebenprodukt" ab. Augenzwinkern
(Gast)R Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.
Danke schon einmal für die super tollen Antworten, das hilft mir schon weiter.

Zitat:
Original von Abakus


Hier muss statt dem "=" ein "<=" stehen: . Zusätzlich solltest du beachten, dass alle Folgenglieder positiv sein müssen (sonst ist die Wurzel ggf. nicht definiert), was du ebenfalls noch zeigen müsstest.


Alle Folgeglieder sollen größer Null sind? Zeige ich das nicht dadurch schon automatisch, dass das moton wachsend ist?

Zitat:
Zitat:
Und damit zeige ich doch, dass das ganze Beschränkt ist?

Oder zeige ich damit, dass die Folge monoton steigend ist?


Du hast nun die Beschränktheit gezeigt, nicht jedoch die Monotonie.


Sorry, aber das verstehe ich nicht so ganz, denn Mathespezialschüler hat mir ja den Tipp gegeben, dass ich das bzgl. der Monotonie durch zeige. Ich kenne jetzt das a_ n aber gar nicht. Gut, . Aber ich kann das so leicht gar nicht ablesen.

Soll ich jetzt nach a_n auflösen...Obwohl, das bringt mir mir ja bezüglich der Ungleichung auch nichts, da in der Formel ja der Term auf der rechten Seite gleich dem auf der linken Seite ist.

Bekomme ich noch einmal einen Tipp?

Vielen Dank!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von (Gast)R
Alle Folgeglieder sollen größer Null sind? Zeige ich das nicht dadurch schon automatisch, dass das moton wachsend ist?


Die Bezeichnung heißt "monoton" und nicht "moton". Die Monotonie hast du ja bisher nicht gezeigt; ansonsten folgt alleine aus der Monotonie noch nicht, dass alle Folgenglieder positiv sind.

Andererseits kannst du dir das anhand der Rekursionsgleichungen leicht überlegen, dass tatsächlich alle Folgenglieder positiv sind (ich würde es einfach als Bemerkung hinzufügen).

Zitat:
Sorry, aber das verstehe ich nicht so ganz, denn Mathespezialschüler hat mir ja den Tipp gegeben, dass ich das bzgl. der Monotonie durch zeige.


Ja, du zeigst die Monotonie, indem du durch vollständige Induktion die Ungleichung zeigst. Dazu brauchst du einen Induktionsanfang usw. In jedem Fall steht dieser Beweis noch aus.

Grüße Abakus smile
(Gast)R Auf diesen Beitrag antworten »

Moin.

Ja, das hatte ich wohl verstanden. und danke für den Hinweis bzgl. monoton statt moton.
Mein Problem ist jetzt, dass ich partout nicht verstehe, wie man
zeigt.

Ich fasse noch einmal zusammen



Bei Induktion sage ich Induktionsanfang n=1



Das ist wahr (behaupte ich einfach)

Und nun für n->n+1






Und dann sage ich, das stimmt auch. Das klingt aber nicht gut. Also hier mein zweiter Ansatz für n->n+1



das heisst für n+1 erhalte ich hier



Und nun für n->n+1





Also



quadrieren

2a_{n+1} > 2a_n

Da a_{n+1} größer war als a_n stimmt das also.

Scheint mir in die richtige Richtung zu gehen. Was sagt ihr?

Zitat:

Zusätzlich solltest du beachten, dass alle Folgenglieder positiv sein müssen (sonst ist die Wurzel ggf. nicht definiert), was du ebenfalls noch zeigen müsstest.


Sorry, aber kann man mir das mal zeigen, wie man das mathematisch macht, ich kanns leider nicht auf Formeln übertragen.

muss positiv sein, damit reell existiert

Selbiges muss auch gelten für . Da das ja größer als a_n sein soll. Das hat ja auch die vollständige Induktion gezeigt (zur Monotonie), dass


Ach, ich weiß auch nicht, Hilfe :'(
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Da positiv ist, ist definiert und auch positiv, weil jede Wurzel aus einer positiven Zahl ebenfalls immer positiv ist. Damit ist auch definiert und positiv usw.. Im Prinzip ist das auch wieder eine Induktion.
Zur Monotonie: Etwas geordneter aufschreiben!
1. Induktionsanfang: . Dass das gilt, musst du natürlich begründen und nicht einfach behaupten! D.h.: ausrechnen und eben gucken, ob es größer ist als .
2. Induktionsvoraussetzung:
3. Induktionsbehauptung:
4. Induktionsschluss: Wegen folgt und damit wegen der Monotonie der Wurzelfunktion:

.

Damit wäre der Beweis vollbracht. Ich hoffe, die Struktur ist etwas klarer geworden.

Gruß MSS
(Gast)R Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mathespezialschüler. Das war eine sehr tolle Antwort. Vielen vielen vielen Dank dafür! Die Struktur ist mir dadurch klarer geworden.
Auch, dass man a_2 überhaupt berechnen kann. Denn vorher wusste ich das leider nicht

Aber noch eine Frage





Gilt ja jetzt nur für .

Wie genau kann damit der Beweis für das monoton steigende erbracht sein? Den Rest zeigt mein Grenzwert von 2, dass es monoton steigend ist - oder wie? Weil ich ja mit a_{n+1} = 3 (oder größer 2) ein A_n+1 Wert gefunden habe, für den die Ungleichung des Beweises nicht mehr stimmt.


Auf jedenfall schon mal danke an dich, Mathespezialschüler.
Die anderen Beiträge waren auch sehr hilfreich, und auch danke an euch, aber Klickgemacht hat es leider erst jetzt.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, im Prinzip erhältst du als Nebenprodukt aus der Monotonie tatsächlich die Aussage . Aber dass der Grenzwert wirklich ist, das weißt du damit noch nicht.

Gruß MSS
(Gast)R Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.

Vielleicht noch eine abschließende Frage.

Ich stellte ja die (freche) Behauptung auf, nachdem ich den Grenzwert berechnet habe, dass ist.Und habe dann diese Behauptung mit Hilfe von vollständiger Induktion bewiesen (steht in irgendeinem meiner Beiträge, aber das soll auch nicht der Punkt sein), sondern was muss ich für die Beschränktheit eigentlich zeigen?

Also wenn es heißt, eine Folge ist beschränkt, dann heißt das ja, dass es ein Supremum gibt. (und vielleicht auch Maximum). In meinem Fall ist das ja der Grenzwert 2 -> nach oben beschränkt.

Muss ich den Grenzwert vorher berechnen oder kann man es auch schön allgemein zeigen?

Viele Grüße,
(Gast)R
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Beschränktheit ist nicht über das Supremum definiert! Eine Folge heißt beschränkt, falls es eine reelle Zahl gibt, sodass



für alle gilt.

Gruß MSS
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