Faktorisierung über rationalem Funktionenkörper

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22.03.2011, 15:02

Merlinius

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Faktorisierung über rationalem Funktionenkörper

Ich brauche noch einmal Hilfe, ich bin leider zu schlecht unglücklich

Folgende Aufgabe:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} K = \mathbb F_2(t) \end{eqnarray*}$ , der rationale Funktionenkörper. Sei E der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} g = X^4+X^2+t \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle von g.

i) Faktorisiere g über $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ und zeige $\begin{eqnarray*} E = K(\alpha) \end{eqnarray*}$

Klar ist, dass auch $\begin{eqnarray*} -\alpha \end{eqnarray*}$ Nullstelle ist. Sei $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ eine weitere Nullstelle aus dem Zerfällungskörper, also ist auch $\begin{eqnarray*} -\beta \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle.

Somit ist $\begin{eqnarray*} g = (X-\alpha)(X+\alpha)(X-\beta)(X+\beta) \in E[X] = (X-\alpha)(X+\alpha)(X^2-\beta^2) \in K(\alpha)[X] \end{eqnarray*}$ .

Man sieht durch Ausmultiplizieren, dass $\begin{eqnarray*} \beta^2 = -1-\alpha^2 \end{eqnarray*}$ ist. Also $\begin{eqnarray*} g = (X-\alpha)(X+\alpha)(X^2+1+\alpha^2) \in K(\alpha)[X] \end{eqnarray*}$

Dass alle vier Nullstellen von g verschieden sind, sieht man auch leicht mit dem Satz von Vieta.

Jetzt erschließt sich mir leider nicht, warum $\begin{eqnarray*} E = K(\alpha) \end{eqnarray*}$ ist, also warum $\begin{eqnarray*} \beta \in K(\alpha) \end{eqnarray*}$ sein muss. Es wäre toll, wenn mir jemand diesbezüglich einen Hinweis geben könnte.

In dem Kapitel geht es übrigens um Separabilität, falls das hier hilft.

22.03.2011, 17:38

juffo-wup

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Hallo Merlinius. Da der Körper Charakteristik 2 hat, sind $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\alpha \end{eqnarray*}$ etc. gleich. Beachte auch, dass die (formale) Ableitung von g Polynoms das Nullpolynom ist. Was sagt das über die Nullstellen von g?

22.03.2011, 18:33

Merlinius

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Es sagt zumindest, dass jede Nullstelle mindestens doppelt vorkommt. Aber wenn man davon ausgeht, dass $\begin{eqnarray*} \alpha = -\alpha, \beta = -\beta \end{eqnarray*}$ bringt mir das auch keine neuen Erkenntnisse.

Ansonsten weiß ich leider nicht, was mir f' = 0 noch aussagt unglücklich

22.03.2011, 19:01

juffo-wup

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Zitat:

Original von Merlinius
Es sagt zumindest, dass jede Nullstelle mindestens doppelt vorkommt.

Genau das meinte ich.

Zitat:

Aber wenn man davon ausgeht, dass $\begin{eqnarray*} \alpha = -\alpha, \beta = -\beta \end{eqnarray*}$ bringt mir das auch keine neuen Erkenntnisse.

Die Aussage, dass mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} -\alpha \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle ist, ist ja trivial, wenn die beiden gleich sind. Ohne das Argument mit der Ableitung wäre nicht direkt bekannt gewesen, dass jede Nullstelle mehrfach vorkommt.

Die Schlussfolgerung $\begin{eqnarray*} \beta^2=1+\alpha^2 \end{eqnarray*}$ , die du dann mit Hilfe der Faktorisierung gewonnen hast, ist richtig. Daraus folgt dann ja auch $\begin{eqnarray*} \alpha\neq \beta \end{eqnarray*}$ .

Nun ist nur noch zu überlegen, wie $\begin{eqnarray*} X^2+1+\alpha^2 \end{eqnarray*}$ weiter über $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ zerfällt. (Benutze, dass wegen Charakteristik 2 gilt: $\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ )

22.03.2011, 19:17

Merlinius

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Etwa:

$\begin{eqnarray*} X^2+1+\alpha^2 = X^2+(1+\alpha)^2 = 0 \Rightarrow X^2 = -(1+\alpha)^2 = (1+\alpha)^2 \Rightarrow X = \pm (1+\alpha)=1+\alpha \end{eqnarray*}$

?

Also $\begin{eqnarray*} g = (X-\alpha)^2(X-(1+\alpha))^2 \end{eqnarray*}$

?

22.03.2011, 19:47

juffo-wup

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Ja, das ist richtig. Freude

Dass jetzt $\begin{eqnarray*} K(\alpha)=E \end{eqnarray*}$ ist, sollte auch klar sein, oder?

22.03.2011, 19:49

Merlinius

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Jo, das ist klar. Danke!

22.03.2011, 22:00

Merlinius

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Jetzt bin ich bei Aufgabenteil b) und bin schon wieder ratlos:

Zitat:

b) Finde den separablen Abschluss $\begin{eqnarray*} E_s \end{eqnarray*}$ von E in K

Also $\begin{eqnarray*} E = K(\alpha) \end{eqnarray*}$ wie eben festgestellt. Somit nach Def.:

$\begin{eqnarray*} E_s = \{b \in K(\alpha) | b \text{ separabel über K}\} = \{b \in K(\alpha) | K(b)/K \text{ separabel}\} \end{eqnarray*}$

Ich weiß ja nichtmal, ob etwa $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ in K liegt oder nicht. Ich weiß wohl, dass der separable Abschluss ein Zwischenkörper von $\begin{eqnarray*} K(\alpha)/K \end{eqnarray*}$ ist.

Kann ich eine Aussage treffen, ob g reduzibel über K ist? Ich weiß ja nicht, ob g nicht in zwei Faktoren zerfällt, oder doch? Ich weiß natürlich, dass der Grad von $\begin{eqnarray*} K(\alpha)/K \end{eqnarray*}$ höchstens 4 ist.

22.03.2011, 22:51

juffo-wup

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In Bezug auf die Irreduziblität weiß ich im Moment auch nicht, wie man das einfach feststellen könnte. Aber um den separablen Abschluss zu bestimmen, braucht man das auch nicht.

Zunächst, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha\in K \end{eqnarray*}$ , dann ist der separable Abschluss trivialerweise gleich $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , also setzen wir mal $\begin{eqnarray*} \alpha\not\in K \end{eqnarray*}$ voraus.

(edit: Hier stand etwas i.a. Falsches. Es muss wohl doch mit dem konkreten Polynom argumentiert werden).

Sei der Grad 4, d.h. das gegebene Polynom irreduzibel. Dann ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ selbst sicher nicht separabel. Der Grad des separablen Abschluss müsste, wenn dieser nicht gleich K ist, 2 sein.

23.03.2011, 00:46

juffo-wup

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Ein neuer Ansatz: $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta^2 \end{eqnarray*}$ sind Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray*} X^2+X+t \end{eqnarray*}$ Dieses Polynom ist separabel, weil $\begin{eqnarray*} \alpha^2\neq \beta^2 \end{eqnarray*}$ .

Kennst du den Begriff "rein inseparabel"? Damit könnte man jetzt z.B. weitergehen: $\begin{eqnarray*} K(\alpha^2)/K \end{eqnarray*}$ eine separable Erweiterung, insbesondere $\begin{eqnarray*} K(\alpha^2)\subset E_s\subset K(\alpha) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_s/K(\alpha^2) \end{eqnarray*}$ ist separabel. $\begin{eqnarray*} K(\alpha)/K(\alpha^2) \end{eqnarray*}$ ist rein inseparabel, also auch $\begin{eqnarray*} E_s/K(\alpha^2) \end{eqnarray*}$ Daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} E_s=K(\alpha^2) \end{eqnarray*}$

23.03.2011, 02:03

Merlinius

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uiuiui, danke smile

Ja, den Begriff rein inseparabel kenne ich. Das ist eine Aufgabe aus einem Buch (Lorenz, Algebra 1).

Woran siehst Du direkt, dass $\begin{eqnarray*} K(\alpha)/K(\alpha^2) \end{eqnarray*}$ rein inseparabel ist?

Ohne dies zu sehen, könnte ich bestenfalls mit meinen Mittel argumentieren, dass

1. Fall: Angenommen $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \in K \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} K(\alpha)/K \end{eqnarray*}$ quadratische Erweiterung, also

$\begin{eqnarray*} 2 = [K(\alpha) : K] = [K(\alpha) : E_s] \cdot [E_s : K(\alpha^2)] \cdot [K(\alpha^2) : K] \end{eqnarray*}$

Wobei der erste Faktor mindestens 2 ist, da $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ inseparabel über K ist, also sind die anderen beiden 1, also folgt $\begin{eqnarray*} E_s = K(\alpha^2) \end{eqnarray*}$

2. Fall: Angenommen $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \notin K \end{eqnarray*}$ . Dann bleibt:

$\begin{eqnarray*} 4 \geq [K(\alpha) : K] = [K(\alpha) : E_s] \cdot [E_s : K(\alpha^2)] \cdot [K(\alpha^2) : K] \end{eqnarray*}$

Wobei nun der erste Faktor mind. 2 ist (s.o.) und der letzte ebenfalls mind. 2, da $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \notin K \end{eqnarray*}$ .

Also wieder $\begin{eqnarray*} E_s = K(\alpha^2) \end{eqnarray*}$

23.03.2011, 02:23

juffo-wup

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$\begin{eqnarray*} K(\alpha)/K(\alpha^2) \end{eqnarray*}$ ist rein inseparabel, da erzeugt von dem rein inseparablen Element $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (Ein Element x ist bei Charakteristik p genau dann rein inseparabel, wenn es ein k gibt sodass $\begin{eqnarray*} x^{p^k} \end{eqnarray*}$ im Grundkörper enthalten ist- hier eben p=2,k=1).

Deine Schlussweise mit der Fallunterscheidung stimmt aber auch, wenn man voraussetzt, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nicht separabel ist. Allerdings müsste man das für den Fall, dass die Körpererweiterung E/K nur Grad 2 hat, noch extra beweisen.

23.03.2011, 12:32

Merlinius

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Stimmt. Vielen Dank für Deine Hilfe!

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