Wieviele Kreise passen in mein Rechteck?

22.03.2011, 15:22

Semmel

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Wieviele Kreise passen in mein Rechteck?

Meine Frage:
Hallo zusammen,
folgendes Problem:

Ich muss im Beruf ständig berechnen wieviele Kreise (Ronden) ich auf ein Rechteck (Tafel) bekomme!

Ich arbeite in einer Stanzerei und dort bekommen wir Tafel in unterschiedlichen Format geliefert!

Aus diesen Tafeln muss ich dann möglichst viele Ronden auslasern können.

Mit einer einfach Flächenberechnung kann ich nichts Anfangen, da ich ja die Ronden ja auch versetzt auf die Tafel gelegt werden können und somit mehr drauf passen!

Ich hoffe jemand hat mich verstanden und kann mir helfen!

Meine Ideen:
Ich habe bereits eine Excel Tabelle geschrieben um Rechteckige Teile zu berechnen. Das funktioniert auch wunderbar. Bekomme immer die genaue Stückzahl das ideale Tafelformat und kann auch errechnen ob die Teile idealerweise waagerecht oder senkrecht liegen müssen und muss dafür nur die zwei Teillängen a und b ändern und es funktioniert super!

Für Ronden allerdings fällt mir trotz stundenlanger überlegerei nichts ein!

Hilfe!

22.03.2011, 15:52

René Gruber

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Das lässt sich leider nicht so einfach in eine griffige Formel pressen:

Bei "kleinen" Rechteckabmessungen (also in Bezug auf den Kreisdurchmesser) ist in der Regel eine Quadratgitter-Anordnung der Kreise anzahloptimal, während dieses Verhalten mit größer werdenden Rechtecken irgendwann mal zu der optimalen Bienenwaben-Anordnung der unendlichen Ebene wechselt, siehe auch hier:

Seitenmaß des Würfels ermitteln

Eine Grobabschätzung ist dort also leicht möglich, aber wenn die Anzahl ganz genau ausgerechnet werden soll, dann ist schon etwas Bastelei nötig. Natürlich kann man auch die in einen Algorithmus packen, oder es doch zumindest versuchen.

24.03.2011, 08:50

semmel89

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Ja damit könnte ich doch schonmal was anfangen... Dann lass ich Excel einfach beide varianten durchrechnen.. Einmall die Quadratgitter möglichkeit und einmal die Bienenwaben möglichkeit und lass mir dann das bessere Ergbeniss anzeigen...

Wie wären denn die Formeln für die jeweiligen Anordnungen?

24.03.2011, 10:21

semmel89

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Ok. Also die Quadratgitter-Anordnung is ja kla!

Aber wo find ich denn die Formel für die "Bienenwaben"-Anordnung?

Wär super wenn mir die jmd. sagen könnte!

24.03.2011, 10:22

René Gruber

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Warnung
Dir ist aber hoffentlich bewusst, dass auch diese kombinierte Strategie nicht immer das optimale Ergebnis bringt?

Beispiel: Ein Rechteck mit den Maßen $\begin{eqnarray*} 2\times 3.9 \end{eqnarray*}$ und Kreisen vom Durchmesser 1. Man kann sich schnell davon überzeugen, dass da 7 Kreise hineinpassen, aber das sowohl nach reiner Quadratgitter- und auch Bienenwabengitter-Strategie nur 6 platziert werden können.

Wenn wir hier also weiterreden und die Formeln zu beiden Strategien besprechen, dann muss dir klar sein, dass es sich nur um "suboptimale" Verfahren handelt, d.h., dass ggfs. doch etwas mehr Kreise möglich sind!

24.03.2011, 10:47

semmel89

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Ja das ist mir klar! Es geht mir ja auch nur darum einen groben Richtwert zum kalkulieren der Preise zu bekommen! Zur perfekten Anordnung gibt es ja fast unendlich verschiedene möglichkeiten! Diese allerdings errechnet mein Programm der Maschine schon selbst wenn es zum Auftrag kommt! Wie gesagt es geht lediglich um einen Richtwert. Da reichen mir diese beiden möglichkeiten!

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24.03.2011, 11:20

riwe

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hier in packomania wüten die "kreiswahnsinnigen" Augenzwinkern

Augenzwinkern

du kannst dir eine beliebige anzahl von kreisen in allen möglichen "behältern" = rechteck, quadrat.... anschauen

24.03.2011, 11:26

René Gruber

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Na gut, sprechen wir mal über die "Bienenwabe", ausgehend von einem Rechteck der Breite $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und Höhe $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , in das Kreise vom Durchmesser $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ platziert werden sollen:

-----------------------------------------------------------------------------------

(1) In einer ersten Versuchsanordnung packen wir eine Grundzeile $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ Kreise, in die nächste Zeile dann versetzt $\begin{eqnarray*} (n_1-1) \end{eqnarray*}$ Kreise, dann in der nächsten Zeile wieder entsprechend der ersten Zeile $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ Kreise usw. immer wechselseitig, solange noch Platz gemäß Höhe $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist. Hier soll mal $\begin{eqnarray*} a\geq 2d \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b\geq d \end{eqnarray*}$ gelten.

Nun passen in die Grundzeile genau $\begin{eqnarray*} n_1 = \left\lfloor \frac{a}{d} \right\rfloor \end{eqnarray*}$ Kreise. Damit der Abstand zur nächsten, versetzten Zeile möglichst klein wird, nutzen wir die ganze Zeilenlänge $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aus durch gleichabständige Platzierung aller $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ Kreise, so dass die beiden äußeren Kreise den linken bzw. rechten Rechteckrand berühren. Das resultiert in einem Mittelpunktabstand $\begin{eqnarray*} u_1 = \frac{a-d}{n_1-1} \end{eqnarray*}$ benachbarter Kreise dieser Zeile, und folglich dann Zeilenabstand gemäß Pythagoras

$\begin{eqnarray*} v_1 = \sqrt{d^2-\left(\frac{u_1}{2}\right)^2} = \sqrt{d^2-\frac{(a-d)^2}{(2n_1-2)^2}} \end{eqnarray*}$

zur nächsten, versetzten Kreiszeile mit $\begin{eqnarray*} (n_1-1) \end{eqnarray*}$ Kreisen. Bei "enganliegenden" Kreisen in der Basiszeile, d.h. $\begin{eqnarray*} a=n_1d \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} u_1=d \end{eqnarray*}$ , ergibt dies das bekannte $\begin{eqnarray*} v_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}d \end{eqnarray*}$ von der dichten Kreispackung in der unendlichen Ebene. Im Fall $\begin{eqnarray*} a > n_1d \end{eqnarray*}$ ist es aber etwas weniger, d.h. es passen ggfs. etwas mehr Zeilen in das Rechteck. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wieviel Zeilen sind das denn genau? Nun, es sind $\begin{eqnarray*} m_1 = \left\lfloor \frac{b-d}{v_1} \right\rfloor+1 \end{eqnarray*}$ Zeilen.

Die Anzahl der auf diese Packungsweise ins Rechteck hineinpassenden Kreise ist dann genau $\begin{eqnarray*} N_1 = \left\lfloor \frac{m_1(2n_1-1)+1}{2} \right\rfloor \end{eqnarray*}$ .

-----------------------------------------------------------------------------------

(2) In der zweiten Versuchsanordnung packen wir in jede Zeile $\begin{eqnarray*} n_2 \end{eqnarray*}$ Kreise, aber genauso von Zeile zu Zeile versetzt wie in Anordnung (1). Hier fordern wir nur $\begin{eqnarray*} a\geq d \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b\geq d \end{eqnarray*}$ .

Hier redziert sich die Anzahl in der Grundzeile etwas zu $\begin{eqnarray*} n_2 = \left\lfloor \frac{2a-d}{2d} \right\rfloor \end{eqnarray*}$ , mit Nachbarabstand $\begin{eqnarray*} u_2 = \frac{2(a-d)}{2n_2-1} \end{eqnarray*}$ benachbarter Kreise dieser Zeile, und folglich dann Zeilenabstand gemäß Pythagoras

$\begin{eqnarray*} v_2 = \sqrt{d^2-\left(\frac{u_2}{2}\right)^2} = \sqrt{d^2-\frac{(a-d)^2}{(2n_2-1)^2}} \end{eqnarray*}$ .

Auch hier sind es dann wieder $\begin{eqnarray*} m_2 = \left\lfloor \frac{b-d}{v_2} \right\rfloor+1 \end{eqnarray*}$ Zeilen mit diesmal summa summarum $\begin{eqnarray*} N_2 = n_2m_2 \end{eqnarray*}$ Kreisen.

-----------------------------------------------------------------------------------

Nun kann man das Rechteck auch noch um $\begin{eqnarray*} 90^{\circ} \end{eqnarray*}$ kippen, d.h. die eben berechneten Anordnungen auf das Rechteck $\begin{eqnarray*} b\times a \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} a\times b \end{eqnarray*}$ anwenden, das ergibt entsprechend Anzahlen $\begin{eqnarray*} N_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N_4 \end{eqnarray*}$ .

-----------------------------------------------------------------------------------

Nimmt man noch die Quadratgitteranzahl $\begin{eqnarray*} N_0 = \left\lfloor \frac{a}{d} \right\rfloor \cdot \left\lfloor \frac{b}{d} \right\rfloor \end{eqnarray*}$ hinzu, dann ist

$\begin{eqnarray*} N := \max\{N_0,N_1,N_2,N_3,N_4\} \end{eqnarray*}$

schon mal eine ganz gute Hausmarke für die Anzahl der hineinpassenden Kreise - aber eben nicht immer das Optimum, siehe mein obiges Beispiel vom Rechteck $\begin{eqnarray*} 2\times 3.9 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

P.S.: Mit dem beiliegenden kleinen Excel-Sheet kann man die obigen Berechnungen mal für verschiedene Werte von $\begin{eqnarray*} a,b,d \end{eqnarray*}$ ausprobieren. Wink

Wink

[attach]18772[/attach]

24.03.2011, 11:44

semmel89

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Das mit der Excel Tabelle ist spitze!! Damit ist mir Perfekt geholfen!!!!!

Eine frage noch zum Schluss, wofür stehen die Variablen m, n und N jeweil 0-4?

24.03.2011, 11:51

René Gruber

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Zitat:

Original von semmel89
Eine frage noch zum Schluss, wofür stehen die Variablen m, n und N jeweil 0-4?

Und wieder mal erweist es sich, dass man bei manchen Fragestellern nur für den Mülleimer schreibt. Finger2

Finger2

24.03.2011, 11:55

semmel89

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Nein es war ja garnichts für den Mülleimer ich versteh nur grad nicht wieso 0-4? Vier verschiedene Anordnungsmöglichkeiten?

Sorry bin nich so das mathe genie!

24.03.2011, 11:59

René Gruber

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Es geht nicht um Mathegenie, es geht um LESEN:

Im obigen Beitrag habe ich geschrieben, was ich mit $\begin{eqnarray*} N_0,\ldots,N_4 \end{eqnarray*}$ meine, und auch $\begin{eqnarray*} n_1,m_1,n_2,m_2 \end{eqnarray*}$ genau erklärt - und mit etwas Mitdenken sollte auch klar sein, was $\begin{eqnarray*} n_3,m_3,n_4,m_4 \end{eqnarray*}$ sind. böse

böse

24.03.2011, 13:06

semmel89

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Um lesen ist gut ;-) Da muss man erstmal durchsteigen!!

Hab jetzt aber alles kapiert!!! ;-)

Spitzenmäßig das erleichtert mir meine tägliche Arbeit um ein vielfaches!!

Vielen Dank!

05.08.2011, 10:44

Desaster

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Hallo miteinander,

könnt ihr bitte das excel sheet nochmal hochladen?
wäre klasse.
danke schön

05.08.2011, 11:23

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Desaster
könnt ihr bitte das excel sheet nochmal hochladen?

Wieso nochmal? Das ist und bleibt doch im Thread. Kannst Du's nicht runterladen?

Viel Grüße
Steffen

14.10.2011, 14:24

gasrol

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Nachtrag
Hallo Rene,

danke für deine Mühe, in meinem Fall wars nicht für den Mülleimer...
Es hat sich aber ein kleiner Fehler eingeschlichen:

der Zeilenabstand v muss größergleich dem halben Durchmesser sein ( $\begin{eqnarray*} v\geq \frac{d}{2} \end{eqnarray*}$ , sonst überschneiden sich Kriese der ersten und dritten Zeile.

Hier muss sozusagen ne Fallunterscheidung rein:

falls $\begin{eqnarray*} v\leq \frac{d}{2} \end{eqnarray*}$ dann setze v=d/2...

grüße an alle

14.10.2011, 15:04

René Gruber

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Das ist richtig. Allerdings passiert

$\begin{eqnarray*} v = \sqrt{d^2-\left(\frac{u}{2}\right)^2} < \frac{d}{2} \end{eqnarray*}$

ja nur dann, falls im Fall 1 $\begin{eqnarray*} (\sqrt{3}+1)d < a < 3d \end{eqnarray*}$ oder im Fall 2 $\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right) d < a < 2d \end{eqnarray*}$ gilt.

So "schmale" Rechtecke standen nicht auf meinem Radar. smile

smile

03.04.2012, 07:23

Marco Stark

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Datei
Kann die Excel-Datei nicht herunterladen. Wer kann so nett sein, diese noch einmal zu senden.

Vielen dank

22.06.2012, 16:07

Moritz Holzer

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Neuer Upload?
Koennte das File nochmal jemand uploaden. Ist wirklich gut erklaert, ich moechte mir ehrlichgesagt aber die Zeit sparen dass nochmal selbst im Excel abzubilden.
danke und lg, moritz

10.10.2016, 14:00

Gallentro

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Vielleicht etwas spät...
www*punkt*packomania*punkt*com

Da gibt es einen Rechner für einige Formate...

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