Konvergenzkreis

22.03.2011, 17:40

spitzname123

Konvergenzkreis

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Aufgabe zu Konvergenzkreis. Ich hab mir die Definitionen angeschaut, aber ich komme irgendwie nicht weiter.

Zuerst einmal die Aufgabe.

Bestimmen Sie den Konvergenzkreis ( Konvergenzradius und Mittelpunkt) der folgenden Potenzreihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\prod_{k=1}^n (1+\frac{1}{k})^k)(x-3)^n \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die Konvergenz kann man ja mithilfe des Quiotientenkriteriums bestimmen.

$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+1}}{a_n} | \end{eqnarray*}$

Ich habe aber keine Ahnung wie ich dabei vorgehen soll.

Zuersteinmal würde ich einsetzen.

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{1}{n})^n}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig? Wie gehe ich weiter vor?

22.03.2011, 17:56

HAL 9000

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Schau mal genau hin:

Es ist NICHT $\begin{eqnarray*} a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} a_n = \prod\limits_{k=1}^n \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^k \end{eqnarray*}$ .

Versuch's also nochmal mit dem Quotienten $\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \end{eqnarray*}$ .

22.03.2011, 18:10

spitzname123

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$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n = \prod\limits_{k=1}^{n+1} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^k}{a_n = \prod\limits_{k=1}^n \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^k} \right| \end{eqnarray*}$

So oder wie?

22.03.2011, 18:34

spitzname123

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Zitat:

Original von spitzname123
$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n = \prod\limits_{k=1}^{n+1} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^k}{a_n = \prod\limits_{k=1}^n \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^k} \right| \end{eqnarray*}$

So oder wie?

Der Bruch kürzt sich ja immer wieder raus, so dass er 1/1 lautet, bis zu n+1.

Dann wird er zu

$\begin{eqnarray*} ( 1 + \frac{1}{n+1} )^{n+1} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich dann am besten weiter vor?

22.03.2011, 18:41

Leopold

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Du kannst im Zähler und Nenner eines Bruches kein Gleichheitszeichen schreiben. Ansonsten stimmt die Rechnung. Du bist durch sie auf eine ganz berühmte Zahlenfolge gestoßen. Schau in deinen Unterlagen nach, was sie für einen Grenzwert besitzt.

22.03.2011, 18:53

spitzname123

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Zitat:

Original von Leopold
Du kannst im Zähler und Nenner eines Bruches kein Gleichheitszeichen schreiben. Ansonsten stimmt die Rechnung. Du bist durch sie auf eine ganz berühmte Zahlenfolge gestoßen. Schau in deinen Unterlagen nach, was sie für einen Grenzwert besitzt.

Das gleichsetzungszeichen ist nur ein Fehler beim kopieren, da ich die Funktion oben nur schnell kopiert hab und dabei wohl zu viel markiert hab. Ich bin mit Latex leider noch nicht so vertraut.

Ist das die Exponentialfunktion?

22.03.2011, 18:56

Leopold

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Jein.

22.03.2011, 19:13

spitzname123

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Zitat:

Original von Leopold
Jein.

Was besseres habe ich leider nich gefunden, da wir leider kein Skript haben.Hast du einen besseren Tipp für mich?

Wenn es nicht die e funktion ist, dann ist es doch etwas sehr ähnliches ^.^ aber was?

22.03.2011, 19:28

tmo

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Das "Jein" sollte bedeuten, dass du im Prinzip schon auf dem richtigen Dämpfer bist.

Was genau steht in deinen Unterlagen bzgl. der Exponentialfunktion im Zusammenhang mit dieser Folge $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ ?

22.03.2011, 19:49

spitzname123

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an dem +1

deswegen muss ich 1 abziehen.

Der radius ist dann $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

22.03.2011, 21:07

spitzname123

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Stimmt der Radius? Und wie komme ich auf den mittelpunkt?

23.03.2011, 07:32

HAL 9000

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Ja, der Radius stimmt.

Zu deiner zweiten Frage: Wie lautet denn bei gegebenen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der Konvergenzkreismittelpunkt der Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ ?

23.03.2011, 11:17

spitzname123

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3 natürlich.
Also momentan steh ich voll aufem Schlauch smile

Dankeschön!!

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