Grenzwert

22.03.2011, 20:36	misaki	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Hallo! Ich möchte gerne wissen ob folgende Ungleichung stimmt und wollte mir dafür den Grenzwert suchen: $\begin{eqnarray} \frac{n+1}{\sqrt[3]{n}} \leq n \end{eqnarray}$ Darf ich denn so die Ungleichung zeigen (falls sie denn stimmt)? Und wenn ja, was ist der Grenzwert vom linken Teil? Durch das n im Zähler ist er nicht 0 - oder?
22.03.2011, 22:11	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ungleichung stimmt nicht für n<3 (falls $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ), ansonsten schon. Wie Du sie beweist, hängt natürlich auch von deinem Wissenstand ab. Induktion wäre vielleicht eine Möglichkeit nach Umformung der Gleichung zu $\begin{eqnarray} n+1<\sqrt[3]n\cdot n \end{eqnarray}$ . Du könntest aber auch durch Differenzieren nachweisen, dass die linke seite schwächer steigt als die rechte (wobei ich auch hier eher die Umformung empfehlen würde) und die Ungleichung für n=3 erfüllt ist. Da beide Seiten größer als Null sind, wirst Du vermutlich auch durch einfaches exponentieren mit drei zu einer Aussage kommen. Es gibt viele Möglichkeiten
22.03.2011, 22:19	misaki	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort, dann werde ich mich noch ein bisschen damit beschäftigen!! Voraussetzung für die Ungleichung war n > 6, das von einer Vorgeschichte bereits angenommen wird. Dieser Teilbeweis gehört nämlich zu meiner vollständigen Induktion
22.03.2011, 23:38	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Übrigens: Wenn man aus der Ungleichung mal $\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{n} < \sqrt[3]{n} \end{eqnarray}$ ist die Ungleichung für $\begin{eqnarray} n \geq 8 \end{eqnarray}$ trivial. Für $\begin{eqnarray} n \geq 3 \end{eqnarray}$ folgt sie, wenn mal $\begin{eqnarray} \left(\frac{4}{3}\right)^3 \end{eqnarray}$ berechnet und feststellt, dass dies kleiner als 3 ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »