Abstand eines Punktes von einer Ebene

22.03.2011, 20:37

michael-

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Hallo, ich hab folgende Aufgabe und möchte gerne wissen ob mein Lösungsweg bzw. Ergebnis stimmt oder ob ich voll den Blödsinn ausgerechnet habe Augenzwinkern

Zu bestimmen sind alle Punkte, die auf der Geraden s liegen und von der Ebene F den Abstand $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ haben

Geg.: s: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ \lambda_1 \\ \lambda_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} \vec{a}= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

F: $\begin{eqnarray*} x_{1} - x_{2} = 0 \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} \vec{n_F} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Lösung:

Lotgerade h durch beliebigen Punkt P von s auf F:

$\begin{eqnarray*} \vec{x_2} = \vec{a} + \lambda_2 \cdot \vec{n_F} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x_2} = \begin{pmatrix} 2+\lambda_2 \\ -\lambda_2 + \lambda_1 \\ \lambda_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Lotgerade h mit Ebene F schneiden:

$\begin{eqnarray*} 2+\lambda_2-\lambda_1+\lambda_2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2=\frac{1}{2}\cdot \lambda_1-1 \end{eqnarray*}$

So jetzt Spitze - Fuß der beiden Vektoren rechnen, ich hab sie jetzt mal Vektor PL genannt da es so in der Formel steht.

$\begin{eqnarray*} \vec{PL} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = (\frac{1}{2} \cdot \lambda_1 -1)\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So jetzt weiß ich den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{PL} \end{eqnarray*}$ dann ergibt sich:

d= $\begin{eqnarray*} |\vec{PL}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} = | (\frac{1}{2} \cdot \lambda_1 -1) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} | \end{eqnarray*}$

Durch ausrechnen ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 2+\sqrt{2} und \lambda_1 = 2-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} x_{1} (2;2+\sqrt{2};2+\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{2} (2;2-\sqrt{2};2-\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$

Normalerweise würde ich das jetzt nicht alles eintippen, ich werde morgen aber ausgefragt und die Hausaufgabe fließt auch mit in die Note ein.
Also ich hoffe irgendjemand sieht sich das an, das eintippen hat ziemlich lange gedauert Augenzwinkern

22.03.2011, 21:07

riwe

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RE: Abstand eines Punktes von einer Ebene
ich schaue es mir nicht an, du hast dich irgendwo verrechnet.
(du kannst ja die probe machen)
das geht viel einfacher mit der HNF:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_1-x_2}{\sqrt{2}}=0 \end{eqnarray*}$
g einsetzen ergibt $\begin{eqnarray*} t_1=0\wedge t_2=4 \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} P_1(2/0/0) \wedge P_2(2/4/4) \end{eqnarray*}$

also noch einmal an den start Augenzwinkern

22.03.2011, 21:13

michael-

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Frage, was heißt HNF?
Dann kann ich das googeln und eventuell damit ausrechnen.

Und was setzt du für g ein?

22.03.2011, 21:15

riwe

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HNF heißt hessesche normalform.

für g setze ich g ein smile

also für $\begin{eqnarray*} x_1 =2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=\lambda \end{eqnarray*}$ ....

22.03.2011, 21:22

michael-

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Hmm, ich komm grad gar nicht klar damit...

$\begin{eqnarray*} \vec{n} skalar ( \vec{x} -\vec{a}) =0 \end{eqnarray*}$

Ist die Hessesche Normalform oder?

Bei deiner Rechnung oben schreibst du t1 und t2 und g.
Welche Variablen wären den das bei meiner Aufgabe?

22.03.2011, 21:30

michael-

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Also auf das erste $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ komme ich. Aber das mit 4 finde ich nicht!

22.03.2011, 21:51

Dopap

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riwe macht's ein wenig kurz: das t ist dein Lambda, g ist dein s.

die auf der HNF ( Hessesche Normalenform ) beruhende Abstandformel lautet in deinem Fall.

$\begin{eqnarray*} |\frac{x_1 - x_2}{\sqrt 2}|=\sqrt 2 \end{eqnarray*}$

Die 2. Lösung ergibt sich aus dem Betrag.

22.03.2011, 22:12

michael-

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Zitat:

Original von Dopap
riwe macht's ein wenig kurz: das t ist dein Lambda, g ist dein s.

die auf der HNF ( Hessesche Normalenform ) beruhende Abstandformel lautet in deinem Fall.

$\begin{eqnarray*} |\frac{x_1 - x_2}{\sqrt 2}|=\sqrt 2 \end{eqnarray*}$

Die 2. Lösung ergibt sich aus dem Betrag.

Dankeschön schonmal. Ich kapier aber immer noch nicht wie ich auf das 2. Lambda komme.

Für x1=2 und für x2=Lambda oder??

22.03.2011, 22:30

michael-

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Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh endlich gecheckt. Danke nochmal!

22.03.2011, 23:44

riwe

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Zitat:

Original von michael-
Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh endlich gecheckt. Danke nochmal!

23.03.2011, 12:21

riwe

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ich habe mir noch dein zeug angeschaut.
ich vermute, dass dein weg, so wie du gerechnet has,t nicht richtig ist.

richtig ist meiner meinung nach:

1) bastle 2 zu E parallele ebenen im abstand $\begin{eqnarray*} d = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
2) schneide diese mit s.

dazu bekommt man die beiden auf/stützpunkte

$\begin{eqnarray*} A_{1,2}=(0,0,0)^T\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\cdot(1,-1,0)^T\to A_1(1/-1/0)\wedge A_2(-1/1/0) \end{eqnarray*}$

ebene durch $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x-y-2=0 \end{eqnarray*}$

gerade einsetzen ergibt $\begin{eqnarray*} \lambda_1=0\to P_1(2/0/0) \end{eqnarray*}$

nun zu deinem weg:
der würde so funktionieren

$\begin{eqnarray*} \vec{x}_L=(2,0,0)^T+\lambda(0,1,1)^T+\mu(1,-1,0)^T \end{eqnarray*}$

in $\begin{eqnarray*} x - y =0 \end{eqnarray*}$ einsetzen ergibt $\begin{eqnarray*} \mu=\frac{\lambda}{2}-1 \end{eqnarray*}$
damit zurück liefert den lotpunkt $\begin{eqnarray*} L(\lambda)=(1,1,0)^T+\lambda(0.5,0.5,1)^T \end{eqnarray*}$

und nun

$\begin{eqnarray*} |PL|^2=2=2(1-\frac{\lambda}{2})^2\to\lambda_1=0\wedge\lambda_2=4 \end{eqnarray*}$

also wie gehabt.

ich habe das hier so ausführlich gemacht, weil du ohnehin alles bereits SELBST gerechnet hast. Augenzwinkern

ich hoffe, das findet gnade vor den augen der strengen hüterInnen des boards

anmerkung: wie man sieht, ist die HNF DAS mittel der wahl.

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